Brückenkurs Mathematik/ Hauptteil/ Zweiter Teil

Gleichungen IBearbeiten

  • Lösungen müssen in der Grundmenge G liegen
Beispiel1:        x + 2 = 5     über      

Bedeutung: Diese Behauptung ist nur dann eine wahre Aussage, wenn x eine reelle Zahl ist, 
deren Summe mit der Zahl 2 die Zahl 5 ergibt. Es gibt nur eine Zahl x, die diese Eigenschaft  
hat, nämlich die Zahl 3. Sie ist daher die (einzige) Lösung. (Die t L = {3}.kurze Schreib- 
oder Sprechweise dafür ist: Die Lösung der 
Gleichung ist  = 3.)  Die Lösungsmenge is
Beispiel2:       n + 1 = n    über    G = N = Menge der natürlichen Zahlen.

Bedeutung: Diese Behauptung ist nur dann eine wahre Aussage, wenn n eine natürliche Zahl  
ist, deren Summe mit der Zahl 1 wieder sie selbst ist. Das ist natürlich für keine Zahl der 
Fall: die Behauptung ist immer falsch. Folglich hat die Gleichung keine Lösung. Die  
Lösungsmenge ist leer, L = { }

Beispiel3: r2 = 4 über G = R. Bedeutung: Diese Behauptung ist nur dann eine wahre Aussage, wenn r eine reelle Zahl ist, deren Quadrat 4 ist. Das ist für die Zahl 2 der Fall, aber auch für die Zahl -2. Die Gleichung hat zwei Lösungen, r = -2 und r = 2. (Das kann abgekürzt als r = �2 geschrieben werden). Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}.

Beispiel4:

Für die Natürlichen Zahlen ist x2=2 unlösbar. Für die reellenzahlen erhält man die 
2 Lösungen   x2=-2 ist nur für komplexe Zahlem lösbar.


Beispiel: 2 ( x + 1 ) = 2 x + 2 über G = R. Bedeutung: Nach Ausmultiplizieren der Klammer ist ersichtlich, daß diese "Behauptung" immer, d.h. für alle x � G, eine wahre Aussage ist. Die Lösungsmenge ist gleich der Grundmenge, L = G. Solche Aussagen haben wir bereits in einem früheren Kapitel kennengelernt: Es sind Identitäten. Von diesem Blickwinkel aus betrachtet, ist eine Identität eine Gleichung, die imer eine wahre Aussage darstellt.


  • Alle Terme müssen für die erhaltene Lösung definiert sein

Die Schnittmenge der Definitionbereiche der einzelnen Terme ist der definitionsbereich der Gleichung.

Beispiel:

Für die reellen Zahlen   sind folgende Terme gegeben:

 

Folgende Gleichung ist zu lösen:

 

Bestimmung des Definitionsbereichs der Gleichung:

 
 
 

Schnittmenge:

 

Erlaubte Äquivalenzumformungen sind:

  • Addition und Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten


  • Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten

Anmerkung: Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine Äquivalenzumformung. Dabei ist zu beachten, dass bei Multiplikation mit einem Ausdruck, der eine Variable enthält, dieser Ausdruck null sein kann. Ein solcher Fall muss getrennt behandelt werden.

  • Division durch denselben Ausdruck ('ungleich null) auf beiden Seiten

Anmerkung: Eine Division durch null ist nicht möglich. Wie bei der Multiplikation ist zu beachten, dass bei Division durch einen Ausdruck, der eine Variable enthält, dieser Ausdruck null sein kann. Ein solcher Fall muss getrennt behandelt werden.

  • Vertauschen beider Seiten

Eingeschränkt möglich sind:

  • Potenzieren beider Seiten mit demselben positiven ganzzahligen Exponenten (z. B. Quadrieren)

Dies ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten - wie beim Quadrieren - erhält man sogenannte Scheinlösungen, die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen.
Zum Beispiel ist die Gleichung   nicht äquivalent zur Gleichung  , denn die letztere Gleichung hat auch   als Lösung.

  • Potenzieren beider Seiten mit demselben nicht-ganzzahligen Exponenten, z. B. Bilden der Quadratwurzel beider Seiten.

Dies gibt nur dann reelle Lösungen, wenn die Seiten der Gleichung positiv sind. Auch dies ist für gerade Wurzelexponenten keine Äquivalenzumformung, denn es gehen Lösungen verloren, wenn man nicht sowohl positive als auch negative Wurzeln in zwei getrennten Gleichungen berücksichtigt.
Zum Beispiel ist die Gleichung   mit einem Ausdruck   äquivalent zum System (  oder  ).

  • Potenzieren beider Seiten mit demselben negativen Exponenten, z. B. Bilden des Kehrwerts beider Seiten.

Dies geht nur, wenn die Seiten der Gleichung nicht den Wert null haben. Bei Verwendung anderer Exponenten als -1 treten dieselben Hindernisse wie bei positiven Exponenten auf.

Lineare GleichungenBearbeiten

 

mit folgenden Linearitätsbedingungen:

  •  
  •  
Beispiele:

 

BruchgleichungenBearbeiten

Unter einer Bruchgleichung versteht man in der (Schul-)Algebra eine Bestimmungsgleichung mit mindestens einem Bruchterm, der die Unbekannte (meistens mit x bezeichnet) im Nenner enthält.

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man eine Bruchgleichung auf einen einfacheren Gleichungstyp zurückführen.

Beispiel:

 

Als Grundmenge wird die Menge der rationalen Zahlen  
vorausgesetzt, d.h. es werden rationale Zahlen gesucht, die diese Gleichung  
erfüllen.

Zunächst muss der Hauptnenner der drei Nenner bestimmt werden, da die Gleichung  
mit diesem multipliziert werden soll. Man zerlegt daher die Nenner in  
Faktoren:

    | Anwendung der 
binomischen Formel  

    | Ausklammern 

 

In dieser Form ist der maximal zulässige Definitionsbereich D der  
Gleichung erkennbar. Er ist gleich der Menge der rationalen Zahlen mit Ausnahme  
derjenigen Zahlen, für die beim Einsetzen in die Gleichung mindestens ein Nenner 
gleich 0 wird. Wegen des Faktors x ist die Zahl 0 „verboten“, wegen des 
Faktors (2x+3) die Zahl   und wegen des Faktors 
(2x-3) die Zahl  .

 

Außerdem sieht man nun, dass die Gleichung (und damit jeder Summand der  
Gleichung) mit dem Hauptnenner

 
zu multiplizieren ist.

 

Hinter dieser Multiplikation steckt die Absicht, in den Zählern und Nennern der  
Bruchterme die gemeinsamen Faktoren herauszukürzen und so die 
Bruchterme zu beseitigen.

 

Diese Gleichung lässt sich nunmehr durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen 
gleichartiger Terme weiter vereinfachen:

 

 

  
Die quadratischen Summanden   fallen heraus, wenn man beide 
Seiten der Gleichung damit subtrahiert.

 

Beidseitige Subtraktion der Zahl 6 führt zu: 
 .
Anschließende beidseitige Division durch -6 ergibt die 
Lösung.
 .
An dieser Stelle muss sicherheitshalber noch überprüft werden, ob die berechnete  
Zahl Element des Definitionsbereichs (siehe oben) ist. Dies trifft zu, und man 
erhält als Lösungsmenge:
 

Quadratische GleichungenBearbeiten

Unter einer quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung der Form

 

Dabei sind   Zahlen und   die Unbekannte. Die linke Seite dieser Gleichung ist also ein beliebiges Polynom des Grades 2. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen einer quadratischen Funktion, also die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen (der eine Parabel ist) mit der x-Achse in der x-y-Ebene.

Allgemeine Form und Normalform Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

  .

Dabei heißt   quadratisches Glied,   lineares Glied und   Absolutglied (oder auch konstantes Glied) der Gleichung. Die Gleichung ist in Normalform, wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat:

  .

Aus der allgemeinen Form lässt sich äquivalent die Normalform gewinnen, indem durch   dividiert wird.

Beispiel:
Gegebene Gleichung:
 
Allgemeine Form (alle Terme auf die rechte Seite):
 
Normalform:
 

Lösungsformeln

Zum Finden von Lösungen einer quadratischen Gleichung kann man die quadratische Ergänzung benutzen. Da die quadratische Gleichung stets die gleiche Struktur aufweist, bietet es sich an, eine allgemeinere Formel herzuleiten, die in der Umgangssprache als „Mitternachtsformel“ bezeichnet wird. Es ergeben sich zwei Lösungsformeln. In ihrer allgemeinen Form

 

hat die quadratische Gleichung die Lösungen

 

Im normierten Fall, der sich durch Division beider Seiten der Gleichung durch   erreichen lässt,

 

lauten die Lösungen nach der p-q-Formel

 .

Es hängt nur vom Vorzeichen des Radikanden] (auch als Diskriminante bezeichnet)   bzw.   der oben vorkommenden Wurzel ab, welche Lösungen sich ergeben:

  • Ist der Radikand  , so ergeben sich zwei verschiedene, reelle Lösungen.
  • Ist der Radikand  , so ergibt sich eine einzelne, doppelte, reelle Nullstelle (Lösung).
  • Ist der Radikand  , so ergeben sich zwei verschiedene, konjugiert komplexe Lösungen. In diesem Fall kann man die beiden Lösungen nach der p-q-Formel wie folgt angeben:
    Komplexer Fall:   .


Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

 

und das nicht normierte in

 

Durch Ausmultiplizieren im normierten Fall

 

und Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta:

    und    

Falls man die Betrachtung im Reellen durchführt und unter der Wurzel einer der Lösungsformeln eine negative Zahl auftritt, so gibt es keine reellen Lösungen, wie man im folgenden Abschnitt am Beispiel der p-q-Formel sieht.

Herleitung der p-q-Formel durch quadratische Ergänzung Für eine Gleichung der Form:

 

ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung:

 

Anzahl der reellen Nullstellen

 
Lage der quadratischen Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante  ) bestimmt für eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie viele reellwertige Lösungen die Gleichung hat. Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Diskriminante. Man kann drei Fälle unterscheiden:

  1. D > 0: Die Parabel (A) hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen   und  ,
  2. D = 0: Die Parabel (B) hat einen Berührpunkt mit der x-Achse, es ist x1 = x2. Der Berührpunkt ist gleichzeitig auch ein Maximum (a<0) bzw. Minimum (a>0) und die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form   bringen.
  3. D < 0, Die Parabel (C) hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, es gibt keine reelle Lösung der quadratischen Gleichung.


Beispiele
 
Beide Lösungen sind positiv: x1 = 7 und x2 = 5
 
Die Lösungen haben unterschiedliches Vorzeichen: x1 = −7 und  
x2 = 5
 
Die Diskriminante ist D = 0. Die (doppelte) Lösung ist x = 2.
 
Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen 
Lösungen ergeben sich zu x1 = −6 +   und   
x2 = −6 −  . Hierbei bezeichnet    
  die Imaginäre Einheit.


WurzelgleichungenBearbeiten

Wurzelgleichungen sind in der elementaren Algebra Bestimmungsgleichungen, bei denen die Unbekannte (meist als x bezeichnet) mindestens einmal unter einer Wurzel steht. Dabei kann es sich um Quadratwurzeln oder um Wurzeln mit beliebigen Wurzelexponenten handeln.

Viele Wurzelgleichungen lassen sich dadurch auflösen, dass man eine Wurzel isoliert (allein auf eine Seite bringt) und anschließend die beiden Seiten der Gleichung mit dem Wurzelexponenten (im Falle der Quadratwurzel also mit 2) potenziert. Falls nötig, wiederholt man dieses Verfahren, bis alle Wurzeln eliminiert sind.

Es ist zu beachten, dass das Potenzieren mit einer geraden Zahl keine Äquivalenzumformung ist. Ein solcher Rechenschritt kann nämlich aus einer falschen Aussage wie   eine wahre Aussage ( ) machen. Daher können beim Potenzieren Scheinlösungen hinzukommen, die keine Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. Die Probe ist folglich für Wurzelgleichungen unverzichtbar.

Beispiel:

 

Als Grundmenge wird die Menge   der reellen Zahlen vorausgesetzt. Es werden also alle reellen Zahlen gesucht, die diese Gleichung erfüllen.

Zunächst soll der maximale zulässige Definitionsbereich D bestimmt werden: Die Radikanden der beiden Wurzeln, also die Terme (Rechenausdrücke) unter diesen Wurzeln, müssen positiv oder gleich 0 sein. Die Bedingung   ist äquivalent zu  . Entsprechend ist   äquivalent zu  . Beide Bedingungen müssen zugleich erfüllt sein. Man erhält daher:

 

Zur Auflösung der Gleichung werden nun beide Seiten der Gleichung mit dem Wurzelexponenten (nämlich 2) potenziert (also quadriert).

 

Auf der rechten Seite steht nun das Quadrat einer Summe. Es muss folglich die binomische Formel   angewendet werden.

 
 

Bevor man erneut die Gleichung beidseitig quadriert, muss man den Summanden, der die verbleibende Wurzel enthält, isolieren. Dies erfolgt dadurch, dass man von beiden Seiten der Gleichung 1 und (5-x) subtrahiert.

 
 
 

Um die noch vorhandene Wurzel zu beseitigen, quadriert man wieder beide Gleichungsseiten.

 
 
 

Diese Gleichung vereinfacht sich durch Addition mit 4x zu

 

und durch Subtraktion der Zahl 4 zu

 .

Die letzte (quadratische) Gleichung hat zwei Lösungen:

  nach dem Satz des Vieta!

Nach der oben gemachten Bemerkung ist eine Probe nötig. Für x = 4 ergibt sich durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung:

Linke Seite:  
Rechte Seite:  

Damit entpuppt sich x = 4 als Scheinlösung. Für x = -4 erhält man dagegen:

Linke Seite:  
Rechte Seite:  

Diese Lösung erfüllt demnach die ursprüngliche Gleichung. Damit ist die Lösungsmenge L der Gleichung gefunden:

 

ExponentialgleichungenBearbeiten

LogarithmusgleichungenBearbeiten

PolynomeBearbeiten

Raten von NullstellenBearbeiten

Reduktion der OrdnungBearbeiten

  • Polynomdivision
  • Substitution

Geometrie IIBearbeiten

TrigonometrieBearbeiten

Umrechnung zwischen Radiant und GradBearbeiten

Der Vollwinkel eines Kreises hat  . Bogenlänge b abhängig vom Winkel  :

 
 

Das Bogenmaß ist das Verhältnis von der Bogenlänge über einem Winkel zum Radius des Kreises.

 

Bei einem Radius=1 stimmen Bogenmaß und Bogenlänge überein.

Beispiel:
Übung:[1]
Gradmaß:        
Bogenmaß:      

Definitionen am EinheitskreisBearbeiten


Bezieht man diese Definitionen auf ein Rechtwinkliges Dreieck, erhält man:

 
 


Eselsbrücke für die wichtigsten Werte

Tabelle ------>

Herleitung wichtiger BeziehungenBearbeiten

trigon. Pythagoras Komplementbeziehungen Quadranten

  sin cos tan cot
sin(x)        
cos(x)        
tan(x)        
cot(x)        

Additionstheoreme u.a. goniometrische FormelnBearbeiten

AdditionstheoremeBearbeiten

Herleitung: Drehung des Radius mit alpha um den Winkel beta

Beispiel
 
Berechnung von:   

Übung:[2]




...
Doppelte/halbe Winkel als ArgumentBearbeiten
Umwandlungen Produkte/SummenBearbeiten
Rechnen mit kleinen WinkelnBearbeiten
Addition von SchwingungenBearbeiten

Berechnung beliebiger DreieckeBearbeiten

sinussatz cosinussatz

Analytische GeometrieBearbeiten

GeradenBearbeiten

EbenenBearbeiten

KegelschnitteBearbeiten

KurvenBearbeiten

FunktionenBearbeiten

  • rationale/ nichtrationale
  • algebraisch/transzendent
  • Definitionsbereich, Wertebereich, Zuordnungsvorschrift
  • injektiv, surjektiv, bijektiv
  • Umkehrfunktionen
  • Komposition
  • Monotonie, Beschränktheit
  • Stetigkeit Voraussetzung Grnezwertbegriff

Lineare FunktionenBearbeiten

Quadratische FunktionenBearbeiten

ExponentialfunktionBearbeiten

LogarithmusfunktionBearbeiten

Ganzrationale FunktionenBearbeiten

Gebrochenrationale FunktionenBearbeiten

Trigonometrische FunktionenBearbeiten

Lösungen der ÜbungsaufgabenBearbeiten

<references>

  1. Lösung:
  2. Lösung: