Benutzerin:Gabriele Hornsteiner/ Rang einer Matrix

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Wir hatten gelernt, dass

${\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}\,.$

die Lösung für das LGS ist. Diese Lösung sieht elegant und bestechend aus - sie hat leider einen kleinen Schönheitsfehler: Wir können sie nur ermitteln, wenn man die Matrix A invertieren kann, was allerdings nicht selbstverständlich ist.

Wann aber ist die Matrix invertierbar? Was sollen wir machen, wenn sie nicht invertierbar ist? Wie finden wir das raus? Fragen über Fragen. Wir wollen uns mal ein bisschen mit dem Rang einer Matrix und der Lösbarkeit von Gleichungssystemen befassen.

Beispiel:

Berta kauft am Montag im Hofladen zwei Kilo Möhren und 5 Roggensemmeln. Sie zahlt 9 €. Sie kauft am Samstag 1 Kilo Möhren und 4 Roggensemmeln und zahlt 6 €. Was kosten im Hofladen ein Kilo Möhren und was eine Roggensemmel?

Wir stellen das Gleichungssystem auf und lösen:

$p_{M}\cdot 2+p_{R}\cdot 5=9$

$p_{M}\cdot 1+p_{R}\cdot 4=6$

wobei pm der Preis der Möhren und pr der Preis der Roggensemmel ist. Wir haben die Matrix A|b als

2 5 | 9
1 4 | 6

die wir auf Dreiecksgestalt (eigentlich Trapezgestalt) bringen: Zweimal 2. Zeile minus erste Zeile ergibt

2  5 | 9
0 -3 |-3

Also kosten eine Semmel 1 Euro und ein Kilo Möhren dann 2 Euro.

Wir haben hier zwei Gleichungen und zwei Variable. Das System liefert eine eindeutige Lösung.

In der nächsten Woche kauft Berta am Montag wieder ihre zwei Kilo Möhren und 5 Semmeln, am Samstag dagegen 4 Kilo Möhren und 10 Semmeln. Sie Zahlt am Montag 9 € und am Samstag 18 €. Wir erhalten das Gleichungssystem

$p_{M}\cdot 2+p_{R}\cdot 5=9$

$p_{M}\cdot 4+p_{R}\cdot 10=18$

Wir stellen die Matrix A|b dar als

2 5 |  9
4 8 | 18

Wir streben wieder Dreiecksgestalt an: 2. Zeile minus 2mal erste Zeile und erhalten nun

2  5 | 9
0  0 | 0

Sie haben es sicher schon bemerkt: Die zweite Zeile enthält gegenüber der ersten Zeile keine zusätzliche Information, deshalb bleibt beim Eliminationsverfahren nur eine Gleichung übrig. Wir haben quasi eine Gleichung und zwei Variable. Deshalb können wir beide Preise nicht mehr eindeutig bestimmen. Wir können nur noch den Preis der Roggensemmel von dem der Möhren in Abhängigkeit setzen:

$2p_{1}+5p_{2}=9\Rightarrow$ $p_{2}={\frac {1}{5}}(9-2\cdot p_{1})=1,8-0,4\cdot p_{1}$

Vermuten wir, dass ein Kilo Möhren 3 €, ist der Preis der Semmeln 0,60 €. Legen wir den Preis der Möhren auf 1 € fest, kostet eine Roggensemmel 1,40 € usw. Wir erhalten also je nach Preis für ein Kilo Möhren einen passenden Preis für eine Roggensemmel, so dass wir hier unendlich viele Lösungen erhalten.

Lösung durch Matrizenrechnung Bearbeiten

Wir wollen nun das LGS mit Hilfe des Matrizenkalküls etwas näher beleuchten. Die Interpretation als Matrix-Problem hat den Vorteil, dass die Darstellung knapp und aufgeräumt wirkt und dass auch Erkenntnisse der Matrizentheorie die Gesetzmäßigkeit bei LGSs verdeutlichen.

{\begin{aligned}&I&&\,2\cdot B+1\cdot T+3\cdot K=300\\&II&&\,1\cdot B+2\cdot T+2\cdot K=240\\&III&&\,2\cdot B+1\cdot T+2\cdot K=270\end{aligned}}

Wir definieren die Koeffizientenmatrix

{\underline {A}}={\begin{pmatrix}2&1&3\\1&2&2\\2&1&2\end{pmatrix}}

,

den Vektor der unbekannten Variablen ${\underline {x}}={\begin{pmatrix}B\\T\\K\end{pmatrix}}$ und den Vektor der Beschränkungen ${\underline {b}}={\begin{pmatrix}300\\240\\270\end{pmatrix}}$ .

Wir können dann das Gleichungssystem schreiben als

${\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}\,.$

Allgemein können wir die Matrizen so angeben:

Die Koeffizientenmatrix ${\underline {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1j}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2j}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ij}&\ldots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mj}&\ldots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}\,,$

den Vektor der Variablen ${\underline {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{j}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}}$ und der Beschränkungen ${\underline {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{i}\\\vdots \\b_{m}\\\end{pmatrix}}\,.$

Nach den Regeln des Matrizenkalküls erhalten wir für den Vektor x die Lösung

${\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}\,.$

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