Benutzerin:Gabriele Hornsteiner/Differentialrechnung

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Grenzwerte

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Der Begriff des Grenzwerts einer Funktion soll zunächst an einem Beispiel erklärt werden:

Gegeben ist eine Zahlenfolge

  als Bruch                
  ausgerechnet                

Es handelt sich um eine Folge von x-Werten, wobei  , x strebt also gegen den Wert 1, wie man deutlich sieht.


Es ist nun eine Funktion   gegeben mit  . Für   ist die Funktion nicht definiert, aber was ist, wenn man sich   sehr stark nähert, z.B. mit der Folge  ?

Wir erhalten nun für die Folge der x-Werte die Folge der y-Werte

                 
                 
                 

Welchem Wert nähert sich nun y? Dem Wert 2. Der Grenzwert von links für x \rightarrow 1 ist 2.

Zuerst haben wir uns x_0 von links genähert, nun nähern wir uns x_0 von rechts, z.B. mit der Folge

           
             
             

Der Grenzwert von rechts ist 2. Nähert man sich   von links oder recht, ist der Grenzwert der Funktion  . Es ist also

 

Man sagt: Der Limes von f(x) für x gegen 1 ist 2 oder f(x) konvergiert gegen 2 für x gegen 1. Definition

Es sei eine Funktion y=f(x) gegeben. Nähern sich für jede beliebige Folge   die Funktionswerte immer mehr einem Wert     , ist a der Grenzwert von f(x) für  , also

 

Sind insbesondere linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert gleich a, hat f(x) den Grenzwert a.

Die obige Definition ist die anschauliche Variante. In der Regel wird aber die Definition mit Hilfe des Epsilon-Kriteriums verwendet, das in der ersten Hälfte des 19. Jahrhundert von dem bedeutenden französischen Mathematiker Cauchy entwickelt worden war, wobei es nicht verwunderlich ist, dass Cauchy von seinen Studenten gehasst wurde.

Definition

Die Funktion   hat für   den Limes  , wenn es zu jedem   ein   gibt, so dass für alle  -Werte des Definitionsbereichs mit Bedingung   auch   gilt.

Schreibt man die absoluten Ausdrücke als Doppelungleichungen, wird die Aussage verständlicher:

Zu jedem noch so kleinen Intervall   im Definitionsbereich D um den Wert   gehört ein Intervall   der Funktion f(x) um den Grenzwert a.





Beispiele

 

f(x)ist offensichtlich für x=2 nicht definiert. Wir wollen wieder exemplarisch ein paar Folgen aufstellen:

Grenzwert von links:  

           
           

Linksseitiger Grenzwert:  

Grenzwert von rechts:  .

                   
                   

Rechtsseitiger Grenzwert:  

Also ist  


Existiert für   kein Grenzwert, ist   an dieser Stelle divergent.


Beispiel für eine divergente Funktion:

  für  .