Benutzerin:Argetula/Fkt

Funktionen ordnen mathematischen Objekten mathematische Objekte zu. Ordnet eine Funktion, $f$, dem Objekt $x$ das Objekt $y$ zu, dann schreibt man dafür $f\colon x\!\mapsto \!y$

1. Definitionsbereich von $f~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~{\text{D}}\!_{f}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~\{x\mid \exists y\colon f\colon x\!\mapsto \!y\}$
2. Wertebereich von $f~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~{\text{W}}\!_{f}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~\{y\mid \exists x\colon f\colon x\!\mapsto \!y\}$
3. Sei $x\in {\text{D}}\!_{f}.$ Funktionswertebereich von $f$ für das Argument $x~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~f[x]~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~\{y\mid f\colon x\mapsto y\}$
4. Inverse von $f~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~f^{-1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~$ diejenige Funktion, für welche $x\mapsto y~\Longleftrightarrow ~f\colon y\mapsto x$
5. Ist für jedes $x\in {\text{D}}\!_{f}$ $f[x]$ einelementig, dann nennt man $f$ eindeutig, andernfalls mehrdeutig. Ist sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ eindeutig, dann nennt man $f$ eineindeutig oder injektiv
6. Sei $f$ eindeutig, $x\in {\text{D}}\!_{f}.$ Funktionswert von $f$ für das Argument $x~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~f(x)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=\!=}}~$ das Element in $f[x]$
7. Sind sämtliche Elemente von ${\text{D}}\!_{f}$ $n$-Tupel, $n\!>\!1$, dann nennt man $f$ eine Funktion mit $~n$ Parametern, sonst eine einfache Funktion
8. $\!f$ ist eine Funktion aus $A$ in $B~{\stackrel {\mathrm {def} }{\Longleftrightarrow }}~f\colon A\!\longrightarrow \!B~{\stackrel {\mathrm {def} }{\Longleftrightarrow }}~$ $f$ ist eine Funktion, für die ${\text{D}}\!_{f}\subseteq A$ und ${\text{W}}\!_{f}\subseteq B$ gilt
9. Man nennt $f$ eine

totale Funktion aus $A$, wenn ${\text{D}}\!_{f}=A$

partielle Funktion aus $A$, wenn ${\text{D}}\!_{f}\subset A$

surjektive Funktion in $B$, wenn ${\text{W}}\!_{f}=B$

bijektive Funktion in $B$, wenn $f$ injektiv und eine surjektive Funktion in $B$ ist

Mengentheoretisch gesehen sind Funktionen Klassen geordneter Paare: $(x,y)\!\in \!f~\Longleftrightarrow ~f\colon x\!\mapsto \!y$