Benutzer:WissensDürster/Trendfunktion

Hier entsteht ein kleines Beispiel zu linearen und quadratischen Trendfunktionen. Es ist anwendungsbezogen, speziell an Studenten der Wirtschaftswissenschaften gerichtet.

Ökonomische Kennziffern sind Werte, die zu bestimmten Zeiten empirische gemessen wurden und mit diesen Zeitpunkten Wertepaare bilden. Im einfachsten Fall ist der zeitliche Abstand konstant, z.B. ein Jahr. Diese Wertepaare können wir in das uns bekannte kartesische Koordinatensystem einzeichnen. Durch diese Visualisierung fällt uns meist schon auf, dass die Punkte irgendeiner Regel zu folgen scheinen. Diese Regel könnte eine Zuordnungvorschrift sein, eine Funktion, die wir so aufstellen wollen, dass sie den gemessenen Verlauf möglichst gut wiedergibt (approximiert), um dann evtl. den (nahen) zuünftigen Verlauf abschätzen zu können.

Das ist sowohl Aufgabe der q:Analysis in der Mathematik, als auch der deskriptiven Statistik.

Beispielaufgabe

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Gegeben seien folgende Werte:

Jahr 2005 2006 2007 2008 2009
Wert 155 163 174 193 225

Wir benutzen hier die Methode der kleinsten Quadrate.

Zunächst ein paar Zahlen, die wir benötigen.

Jahr 2005 2006 2007 2008 2009 Summe
  155 163 174 193 225 910
  -2 -1 0 1 2 0
  4 1 0 1 4 10
  -8 -1 0 1 8 0
  16 1 0 1 16 34
  -310 -163 0 193 450 170
  1620 163 0 193 900 1876
xi erhalten wir nach Umbasierung der Jahre, wir verwenden das "mittlere" Jahr als Basisjahr. So erhalten wir aus dem Wertepaare (2007;174) das Paar (0;174). Es wird sich zeigen, dass diese Basiswahl die Rechnung entscheidend vereinfacht.

Die   ergeben sich als Abweichung vom Mittelwert unserer Messzeitpunkte (das Jahr 2007). Dies ist hier besonders einfach, da wir eine ungerade Anzahl haben (5), d.h. wir müssen lediglich nach rechts und links gehend Eins abziehen oder hinzu addieren. Anschließend brauchen wir noch die Potenzen 2, 3 und 4 der  .

Was wir von diesen Zahlen wirklich brauchen, sind die Summen (die ganz rechts in der Tabelle stehen).

  • Bemerkung zur Schreibweise von Summenzeichen:

Wir wollen hier verkürzend für die Summe   schreiben:   (x in eckigen Klammern).

Lineare Trendfunktion

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Aus der Schule kennen wir lineare Funktionen, in allgemeiner Schreibweise:   (m ist Anstieg; n Schnittpunkt mit der y-Achse)

Genauso soll unsere lineare Trendfunktion aussehen, wir beschriften:  

Die beiden Parameter   und   werden bestimmt, indem man folgendes Lineares Gleichungssystem (LGS) löst.

(Es ist in Vektorschreibweise geschrieben, das kennen manche vielleicht in der Form  

 

Hierin ist n die Anzahl unserer Messpaare (also der Jahre). Die x in Klammern jeweils die Summen über alle   in der jeweiligen Potenz.

Die Zahlen aus unserem Beispiel eingesetzt ergeben:

 

Man kann sofort entnehmen, dass   sind, d.h.  . Entsprechend ergibt sich  .

Damit lautet unsere lineare Trendfunktion:  


Quadratische Trendfunktion

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Ähnlich können wir eine quadratische Trendfunktion der Form berechnen.

Das LGS das wir zu lösen haben, sieht wie folgt aus:

  wird bei uns zu  

Hier kann man zunächst entnehmen:  , und  , sowie  

Die quadratische Trendfunktion lautet also:  

Vergleich der Trendfunktionen – Gütemaß

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Wir konnten sowohl eine lineare als auch eine quadratische Trendfunktion für unsere Wertepaare bestimmen. Aber welche ist nun besser geeignet den Verlauf wiederzugeben?

Wir berechnen die Werte für die angegebenen Jahre mittels unserer Funktionen.

Jahr 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Wert 155 163 174 193 225
y(t)_{linear} 148 165 182 199 225 233
y(t)_{quadratisch} 156 161 174 195 224 261

Man erahnt schon, dass die quadratische Funktion weniger von unseren Messwerten abweicht.

Es wäre gut, wenn wir ein Maß hätten, dass uns sagt, wie "gut" unsere Funktion den Verlauf approximiert. Wir bilden zunächst das Quadrat der Abweichungen.

Siehe auch q:Schätzfunktion, q:Korrigierte Stichprobenvarianz
Jahr 2005 2006 2007 2008 2009  
Wert 155 163 174 193 225
  7^2 2^2 8^2 6^2 9^2 234
  1^2 1^2 0^2 2^2 1^2 10

Wir erhalten die Summe der quadratischen Abweichungen für die lineare Funktion zu 234 und für die quadratische zu 10. Die quadratische Funktion scheint also besser zu sein. Problematisch ist nur, dass die berechneten Werte relativ zum Maßstab der gemessenen Werte sind. (Man versuche die Rechnung nachzustellen, wenn die Werte alle um eine Dezimalstelle verschoben wären.)

Ein unabhängiges Maß zum Gütevergleich von Trendfunktionen, ist das Bestimmtheitsmaß.

Wir rechnen:  

 

Die quadratische Funktion ist also etwa um den Faktor 100 genauer, als die lineare.

Ähnliche Aufgabe zum selber rechnen

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Für eine ökonomische Kennziffer sind folgende Werte gegeben.

Jahr 2005 2006 2007 2008 2009
Wert 390 760 1000 1140 1210

Man ermittle eine lineare und eine quadratische Trendfunktion, berechne die Werte der beiden Trendfunktionen für die angegebenen Jahre sowie einen Prognosewert für das Jahr 2010. (Nutze: Methode der kleinsten Quadrate)


Tipp: Wieder sind 5 Jahresmessungen gegeben. Die Potenzen von   sehen dann genauso aus, wie oben.

Siehe auch

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