Benutzer:Stephan Kulla/ Spielwiese2

Das Integral als Durchschnittswert Bearbeiten

Wiederholung: Durchschnitt und gewichteter Durchschnitt Bearbeiten

Mit dem Integral kann der Durchschnittswert einer Funktion bestimmt werden. Bei   verschiedenen Werten   bis   kann ihr Durchschnitt bzw. der Mittelwert   bestimmt werden über

 

So ist der Durchschnitt der Werte   gleich  . Wenn die einzelnen Werte   bis   in der Berechnung des Durchschnitts durch unterschiedliche Faktoren   bis   gewichtet werden sollen, lautet die Formel:

 

Eine Gewichtung   bedeutet beispielsweise, dass der Wert   doppelt so stark in den Durchschnitt eingehen soll, als wenn   wäre.

Durchschnittsberechnung einer Funktion Bearbeiten

Eine Funktion   hat unendlich viele Argumente und nimmt damit unendlich oft Funktionswerte an. Die Formel zur Mittelwertsberechnung von endlich vielen Werten kann also nicht verwendet werden, um den durchschnittlichen Funktionswert von   zu bestimmen. Wir können diesen aber annähern. Hierzu zerlegen wir das Intervall   in Teilintervalle. Durch die Wahl von Stützstellen   mit   und   wird das Intervall   in   Intervalle   mit   unterteilt:

 
Zerlegung des Grundintervalls in zehn Teilintervalle

Sei nun   das Supremum und   das Infimum der Funktionswerte von   im Teilintervall  . Damit das Supremum und Infimum existiert, nehmen wir zusätzlich an, dass   beschränkt ist. Nun können zwei Treppenfunktionen definiert werden, die jeweils die Funktion   von oben bzw. von unten annähern. Bei der oberen Treppenfunktion   definieren wir   für   und  . Bei der unteren Treppenfunktion   ist   bei   und  :

Beide Treppenfunktionen nehmen nur endlich viele Werte an und nähern beide den Funktionsverlauf von   an. Da die Werte von   immer über den Werten von   liegen, sollte auch der durchschnittliche Wert von   größer gleich dem Mittelwert von   sein. Der Durchschnittswert der oberen Treppenfunktion schätzt also den gesuchten Funktionsmittelwert nach oben ab. Analog ist der Durchschnittswert der unteren Treppenfunktion eine Abschätzung nach unten für den Mittelwert von  .

Um den Mittelwert einer Treppenfunktion zu bestimmen, reicht es nicht aus, den Durchschnitt der angenommen Funktionswerte zu bilden. So nehmen die folgenden Treppenfunktionen dieselben Funktionswerte an. Wegen der unterschiedlichen Größe der Teilintervalle sollte sich auch der Durchschnittswert der beiden Teilintervalle unterscheiden:

Vielmehr müssen wir die Funktionswerte mit den Längen der Teilintervalle gewichten, wo diese Funktionswerte angenommen werden. Das  -te Teilintervall   hat die Länge  . Bei der oberen Treppenfunktion   bilden wir also den Mittelwert   der Zahlen   mit den Gewichten  :

 

Analog können wir den Durchschnittswert   der unteren Treppenfunktion bestimmen. Insgesamt erhalten wir die Abschätzung:

 

Wir konnten also den durchschnittlichen Funktionswert   der gegebenen Funktion   abschätzen. Als Summen treten dabei die Ober- und Untersummen auf, die selbst den orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen approximieren. Um die obige Abschätzung weiter zu verbessern, müssen wir das Grundintervall immer feiner zerlegen. Unter der Voraussetzung, dass die Funktion   riemannintegrierbar ist, strebt dabei die Unter- sowie die Obersumme gegen das Integral  . Mit Hilfe des Sandwichsatzes können wir aus obiger Abschätzung folgern:

 

Mit Hilfe des Integrals kann also der Durchschnittswert einer Funktion bestimmt werden. Hierzu muss das Integral durch die Länge   des Grundintervalls geteilt werden.