Benutzer:Shogun/Quasifreie Elektronen

Ein periodisches Potential kann man als Fourierreihe schreiben:

$V(\mathbf {r} )=\sum _{m}V(\mathbf {G} _{m})\exp(i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} )$

Ebenso lässt sich eine Blochfunktion (welche auch periodisch ist) als Fourierreihe schreiben:

$u(\mathbf {r} )=\sum _{m}u(\mathbf {G} _{m})\exp(i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} )$

Setzt man diese Fourierreihen in die Blochgleichung ein, so bekommt man:

${\Bigg (}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}-\epsilon (\mathbf {k} ){\Bigg )}u(\mathbf {G} _{n})+\sum _{m}V(\mathbf {G} _{n}-\mathbf {G} _{m})u(\mathbf {G} _{m})=0$

In einer ersten Approximation nimmt man die Energie eines freien Elektrons an:

$\epsilon (\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m}}$

Wir betrachten auch nur die nullte Fourierkomponente ($m=0$)und nehmen an, $u(0)=1$. Dann folgt:

$u(\mathbf {G} _{n})\approx -{\frac {V(\mathbf {G} _{n})}{{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\Big [}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}-k^{2}{\Big ]}}}$

Da wir eine bessere Näherung als nur die nullte Ordnung erreichen wollen, wird nun folgendes getan:

1. Setze $\mathbf {G} _{n}=\mathbf {0}$ und $\mathbf {G} _{n}=\mathbf {G} _{1}$

2. Setze $\mathbf {G} _{n}=\mathbf {G} _{1}$ und $\mathbf {G} _{n}=\mathbf {0}$

Daraus ergeben sich folgende zwei Gleichungen:

${\begin{cases}{\bigg (}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}k^{2}-\epsilon (\mathbf {k} ){\bigg )}u(\mathbf {0} )+V(-\mathbf {G} _{1})u(\mathbf {G} _{1})=0\\{\bigg (}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{1})^{2}-\epsilon (\mathbf {k} ){\bigg )}u(\mathbf {G} _{1})+V(\mathbf {G} _{1})u(\mathbf {0} )=0\end{cases}}$

Wegen $V(-\mathbf {G} _{1})=V^{*}(\mathbf {G} _{1})$ kann man das Gleichungssystem wie folgt schreiben:

${\begin{pmatrix}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}k^{2}-\epsilon (\mathbf {k} )&V^{*}(\mathbf {G} _{1})\\V(\mathbf {G} _{1})&{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{1})^{2}-\epsilon (\mathbf {k} )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u(\mathbf {0} )\\u(\mathbf {G} _{1})\end{pmatrix}}=\mathbf {0}$

Wir können nun noch $(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{1})^{2}$ mit $k^{2}$ ersetzen. Für eine nichttriviale Lösung dieses Systems kann man die Determinante gleich Null setzten:

${\begin{vmatrix}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}k^{2}-\epsilon (\mathbf {k} )&V^{*}(\mathbf {G} _{1})\\V(\mathbf {G} _{1})&{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}k^{2}-\epsilon (\mathbf {k} )\end{vmatrix}}=0$

Die Lösung dieses Systems ist (Übungsaufgabe!)

<math>\epsilon(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2 \mathbf{k}^2}{2m} \pm |V(\mathbf{G}_1)|