Benutzer:Philipendula/Matheübungen

Übungen zu Summen

1. Berechnen Sie

$\sum _{i=0}^{4}{\frac {i}{i+1}}$

$\sum _{i=-2}^{3}a$

2. Vereinfachen Sie

$\sum _{j=-3}^{2}(k-j)^{2}$

3. Schreiben Sie die folgenden Summen mit dem Summenzeichen

$1+8+27+64+125$

$5+{\frac {4}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{27}}+{\frac {1}{81}}$

$1-3+5-7+8$

4. Gegeben ist die folgende Tabelle, wobei i die Nummer der Zeile und j die Nummer der Spalte bezeichnen.

 5  8 2 3
 1 -2 1 0
-6  1 7 5

a. Geben Sie an

$\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=3}^{4}x_{ij}$

$\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{4}x_{ij}$

b. Stellen Sie in Summennotation dar

Summe der 4. Spalte

Summe der 2. Zeile

Summe der Tabellen-Elemente unterhalb der x_ii-Werte.

5. Ermitteln Sie die Summe

$\sum _{k=5}^{100}{\frac {1}{(k-1)k}}$

Hinweis: Es gilt

${\frac {1}{(k-1)k}}={\frac {1}{(k-1)}}-{\frac {1}{(k)}}$

6. Vereinfachen Sie

$\sum _{i=1}^{5}(2-3x_{i})+\sum _{i=1}^{5}(10x_{i}-4)$

$\sum _{i=0}^{n+1}(3+5x_{i})-\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-1)-2\sum _{i=0}^{n}(3x_{i}+1)$

7. Es ist der arithmetische Durchschnitt von n vielen Werten x_i definiert als

${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln bei Summen, dass gilt

$\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\cdot {\overline {x}}^{2}$

Übungen zu Abbildungen

1. Untersuchen Sie folgende Relationen. Handelt es sich um Abbildungen, sind sie gegebenenfalls surjektiv, injektiv, bijektiv?

1.1 Abbildungsvorschrift $y=f(x)=1+{\sqrt {3x+1}}$

mit den Relationen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R}$

$\lbrace x|x\geq -{\frac {1}{3}}\wedge x\in \mathbb {R} \rbrace \longrightarrow \mathbb {R}$

$[0;1]\longrightarrow [1;2]$ ; beide Intervalle sind Teilmengen der reellen Zahlen

$\mathbb {R} _{0}^{+}\longrightarrow [1;2]$

$[0;1]\longrightarrow \mathbb {R}$

$[0;1]\longrightarrow \mathbb {N}$

1.2 Abbildungsvorschrift $f(x)={\frac {1}{x}}$

mit den Relationen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

$\mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace \longrightarrow \mathbb {R}$

$\mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace$

1.3 Abbildungsvorschrift $f(n)=n!$; $f(n)={n \choose n}$; $f(n)={n \choose n-1}$

mit der Relation

$\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

2. Ermitteln Sie Definitionsbereich, Wertebereich und gegebenenfalls die Umkehrfunktion von

$y={\frac {3x-8}{x+1}}$; $y={\frac {1}{4}}{\sqrt {100-4x}}$; $y=e^{-x^{2}}$;

Verkettete Funktionen

Stellen Sie folgende Funktionen als verkettete Funktionen dar:

$y=\ln {\frac {1}{5-x^{2}}}$; $y=(5x^{3}-8x^{2})^{12}$; $y=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$;

Folgen und Reihen

Gegeben ist die Folge: a

Matrizenrechnung

Aufgabe 1

Gegeben sind die Matrizen

${\underline {X}}={\begin{pmatrix}1&2&4\\-2&3&1\\\end{pmatrix}}\quad .$ und ${\underline {Y}}={\begin{pmatrix}3&0&-1&1\\4&2&1&0\\-1&1&0&1\end{pmatrix}}$

Berechnen Sie, falls möglich,

${\underline {X}}\cdot {\underline {Y}},\quad {\underline {Y}}\cdot {\underline {X}},\quad {\underline {X}}\cdot {\underline {X}}^{T}$ .

Aufgabe 2

Gegeben sind die Matrizen

${\underline {X}}={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}\quad ,$ ${\underline {Y}}={\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&4\end{pmatrix}}$ und ${\underline {z}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}\quad .$

Berechnen Sie, falls möglich,

${\underline {X}}\cdot {\underline {Y}},\quad {\underline {Y}}\cdot {\underline {X}},\quad {\underline {Y}}\cdot {\underline {z}},\quad {\underline {z}}^{T}\cdot {\underline {z}},\quad {\underline {z}}\cdot {\underline {z}}^{T}$ .