Benutzer:Oceancetaceen = Alice/ Schulbücher 2.0/ Mathematikunterricht/ Quadratische Gleichungen

Funktionen der Form y = ax² + bx + c heißen quadratische Funktionen. Ihre Graphen sind parabelförmig.

Die Normalparabel (y = x²)

Der Graph der Funktion y = x² (a=1; b=0; c=0) heißt Normalparabel. Sie ist nach oben geöffnet, hat ihren Ursprung im Punkt (0|0) und die Y-Achse ist die Symmetrieachse dieser Parabel.

Quadratische Funktionen der Form y = ax² + c

Parabel nennt man den Graphen der Funktion Y = ax² + c. Die Konstanten a und c verändern Lage und Form der Normalparabel.

• Der Faktor a bestimmt die Form und Öffnung der Parabel.
• Der Summand c bestimmt die Länge und Richtung, der Verschiebung auf der Y-Achse.

|a| > 1 = schlanker
|a| < 1 = breiter
 a  > 0 = nach oben geöffnet
 a  < 0 = nach unten geöffnet

Rein quadratische Gleichungen (ax² + c = 0)

Zeichnerische Lösung

zeichnerische Löschung

• 1.) Den Graphen zeichnen/ zeichne die Funktion y = ax² + c
• 2.) An den Nullstellen des Graphen ist Y =0, also 0 = ax² + c
• 3.) Die Nullstellen der Funktion y = ax² + c sind die Lösungen der Gleichung ax² + c = 0

Rechnerische Lösung

Rein quadratische Gleichungen löst man durch das Zerlegen in die Linearfaktoren mit der 3. binomischen Formel. Steht vor x² ein Faktor, so muss erst durch diesen Dividiert werden.

Gemischt quadratische Gleichungen Y = ax² + bx + c

Nach Umformen der Funktion y = ax² + bx + c in die Scheitelform y = a(x + d)²+e lässt sich der Scheitelpunkt S (-d|e) der Parabel ablesen. Das Vorzeichen von d wird umgekehrt. Weil man die binomischen Formeln anwenden muss, ist eine quadratische Ergänzung nötig.

Beispiel:

Y = 2x2 + 12x + 22                        |Faktor vor X ausklammern
  = 2( x2 + 6x + 11)
  = 2( x2 + 2·3x + 3² + 11)
  = 2[(x + 3)2 + 2]
  = 2( x + 3)2 + 4
Der Scheitelpunkt dieser Gleichung ist S(-3|4)

Lösungsformel

Um heraus zu finden, welche X-Werte die Gleichung ax² + bx + c = 0 muss die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden, dazu muss sie durch den Faktor, der vor dem x² steht, geteilt werden.

Zeichnerische Lösung

• 1.) Umformung in die Normalform
• 2.) Normalparabel mit ermittelten Scheitelpunkt zeichnen
• 3.) Die Nullstellen (y = 0) sind die Lösungen der Gleichungen

Rechnerische Lösung

• 1.) Umformen in die Normalform x² + px + q = 0
• 2.) Lösungsformel verwenden:

$x_{1},_{2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$