Benutzer:OB/spielwiese

Das Layout kann denkbar einfach verändert werden ("Wikifizieren").

Anbei ein paar einfache LaTeX-Befehle für mathematische Formeln:

Hochgestellte Zahlen: a^{2x} ergibt $a^{2x}$

Tiefgestellte Zahlen: a_{i} ergibt $a_{i}$

beides lässt sich natürlich kombinieren: a_{i}^{2x} ergibt $a_{i}^{2x}$

Brüche: \frac{dx}{dy} ergibt ${\frac {dx}{dy}}$

Summenzeichen: \sum{_i=1}^{N} a_i ergibt $\sum _{i=1}^{N}a_{i}$

Integrale: \int_{i=0}^{\infty} f(x) dx ergibt $\int _{i=0}^{\infty }f(x)dx$

mehr dazu in der Wikipedia-Hilfe

In vielen ökonomischen Anwendungen wird die Frage zu beantworten sein, wie Preisveränderungen (z.B. durch eine Steuer) sich auf den optimalen Konsumplan und die Wohlfahrt der Beteiligten auswirken. Anstatt nun für jedes neue Preisniveau ein eigenes Optimierungsprogramm aufzustellen und durchzurechnen, empfiehlt es sich, den Langrange-Ansatz ganz allgemein für beliebige Preise $p_{x}$ und $p_{y}$ und ein beliebiges Budget $M$ durchzudeklinieren.

Nehmen wir erneut die Nutzenfunktion aus Beispiel xy: $U=x\cdot y$. Dann lautet das Optimierungsprogramm für diese Funktion ganz allgemein:

$\max _{x,y}\qquad U=x\cdot y$

${\mbox{u.B.d.N.}}\quad p_{x}x+p_{y}y=M$

Dies führt zu folgender Lagrange-Funktion:

${\mathcal {L}}=x\cdot y-\lambda (M-p_{x}x-p_{y}y)$

${\begin{aligned}(1)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=&y-\lambda p_{x}{\stackrel {!}{=}}0\qquad \quad \rightarrow \lambda ={\frac {y}{p_{x}}}\\(2)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}=&x-\lambda p_{y}{\stackrel {!}{=}}0\qquad \quad \rightarrow \lambda ={\frac {x}{p_{y}}}\\(3)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=&M-p_{x}x-p_{y}y{\stackrel {!}{=}}0\\\end{aligned}}$