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Schriftliche Addition und Subtraktion

Einleitung zu den vier Grundrechenarten

Die vier Grundrechenarten

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses

Addition	plus	+	$2$ $+$ $7$ $=$	$9$
(addieren, erhöhen)			Summand $+$ Summand $=$	Summe

Subtraktion	minus	−	$65$ $-$ $22$ $=$	$43$
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen)			Minuend $-$ Subtrahend $=$	Differenz

Multiplikation	mal	⋅ (×)	$9$ $\cdot$ $13$ $=$	$117$
(multiplizieren, vervielfachen, -fach)			Faktor ⋅ Faktor $=$	Produkt

Division	durch	: (÷, /)	$84$ $:$ $7$ $=$	$12$
(dividieren, teilen)			Dividend $:$ Divisor $=$	Quotient

Das Symbol = ist ein Gleichheitszeichen. Es steht für die Gleichheit zweier Ausdrücke. Es wird in einem eigenen Abschnitt genauer erklärt.

Das Symbol × für die Multiplikation wird kaum benutzt, weil es leicht mit dem Symbol oder dem Buchstaben x für die Variable x verwechselt werden kann. Wozu in Rechnungen Buchstaben verwendet werden, werden wir später lernen. Für die Multiplikation wird in diesem Buch das Symbol · benutzt.
Das ist ein Punkt ungefähr auf halber Höhe einer Ziffer notiert.

Für die Division benutzt man auch Punkte : Die anderen Symbole für die Division / und ÷ werden seltener benutzt.
Typisch wird allerdings / bei den Einheiten verwendet, beispielsweise in der Geschwindigkeit (km/h). In diesem Beispiel sagt man "Kilometer pro Stunde". Mit dem Wort "pro" ist Division gemeint.

Weil für Multiplikation und Division Punkte als Symbole verwendet werden, nennt man die beiden Rechenarten zusammen Punktrechnungen.

Die Symbole für die Addition + und die Subtraktion – verwenden dagegen beide Striche. Daher nennt man diese beiden Rechenarten zusammen Strichrechnungen.

Bei Addition und Multiplikation spielt jeweils die Reihenfolge keine Rolle:

5+6+11=6+11+5=\ 11+6+5\ =\ 22

Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Addition.

2\cdot 5\cdot 3=5\cdot 3\cdot 2=\ 2\cdot 3\cdot 5\ =\ 30

Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Multiplikation.

Bei Subtraktion und Division ist die Reihenfolge wichtig. Das Ergebnis ist nicht das Gleiche, wenn die Reihenfolge anders ist:

5-3+2=4\

aber

\ 5-2+3\ =\ 6

10\cdot 5:2=25\

aber

\ 10\cdot 2:5\ =\ 4

Weitere Ausdrücke für die vier Grundrechenarten

Im Alltag gibt es allerdings einige Worte, die irgendeine Rechenart bedeuten können:

Schneiden, Kürzen (zum Beispiel Gehalt) und so weiter könnte minus bedeuten

Wachsen, zwei Sachen zusammen, insgesamt könnte plus bedeuten

in einige gleiche Teilen schneiden könnte doch geteilt durch bedeuten

... und so weiter ...

Das Gleichheitszeichen

Ein Symbol, das bisher nicht erklärt wurde, ist das Gleichheitszeichen "=". Es wird benutzt, um zu zeigen, dass der Ausdruck links des Zeichens das Gleiche ist, wie der Ausdruck rechts des Zeichens. Dies betrifft sowohl den Wert als auch die Einheit.

$20=4\cdot 5\ \$ ✔(richtig)

$20\ {\text{Kartoffeln}}=4\cdot 5\ {\text{Kartoffeln}}\ \$ ✔(richtig)

$20\ {\text{Kartoffeln}}=4\cdot 7\ {\text{Kartoffeln}}\ \$ ✘(falsch: falscher Wert)

$20\ {\text{Birnen}}=4\cdot 5\ {\text{Kartoffeln}}\ \$ ✘(falsch: falsche Einheit)

$10m\cdot 5=50$ ✘(falsch: rechts fehlt die Einheit m)

Wie man mit Einheiten arbeitet, werden wir genauer im entsprechenden Kapitel lernen. Da werden wir auch erfahren, dass

$15m=150dm$

doch richtig ist.

Es gibt allerdings Gleichungen zwischen mehr als zwei Ausdrucken ("Gleichungsketten"), wie wir vorher gesehen haben:

$5+6+11=6+11+5=\ 11+6+5\ =\ 22$

Bei Gleichungsketten sind alle Ausdrücke gleich, daher kann man in diesem Beispiel auch schreiben:

$6+11+5=\ 22\quad$ oder $\quad 5+6+11=\ 11+6+5$

Es gilt daher allgemein:

wenn $\ a=b\$ dann auch $\ b=a\$

wenn $\ a=b=c$ dann auch $\ a=c\$

Gleichungsketten kann man allerdings in der Regel nicht bei sogenannten Äquivalenzumformungen benutzen, wie wir später lernen werden.

Die Gleichung zwischen zwei Ausdrucke spielt allerdings eine wichtige Rolle beim Einsetzen, ein Verfahren, das wir im entsprechenden Kapitel lernen werden.

Negative Zahlen

Das Minuszeichen benutzt man nicht nur bei der Subtraktion, sondern auch um sogenannte negative Zahlen zu bezeichnen. Was die negativen Zahlen sind, kann man ziemlich einfach verstehen, wenn man sich vorstellt, in einem Aufzug zu sein. Betrachten wir die folgende Bilderfolge:

\qquad \qquad \qquad

\qquad \qquad \qquad

\qquad \qquad \qquad

\qquad \qquad \qquad

\qquad \qquad \qquad

Im ersten Bild fängt man vom Erdgeschoss an, dieses kann man mit der Zahl 0 bezeichnen. Dann fährt man mit dem Aufzug 2 Stockwerke nach oben. Die Richtung nach oben kann man mit Plus (+) bezeichnen. Das ist im Bild zu sehen. 0+2=2. Im dritten Bild fährt man aus dem 2. Stock 3 Stockwerke weiter nach oben (+ Richtung). 2+3=5. Im vierten Bild fährt man 8 Stockwerke nach unten. Nach unten kann man mit Minus (−) bezeichnen, da die Stockwerke weniger werden. Wenn man aber 5−8 rechnet, kann das Ergebnis nicht 3 sein. 3 ist oberhalb des Erdgeschosses, wir sind aber jetzt in dritten Untergeschoss. Um die Stockwerke unter dem Erdgeschoss zu bezeichnen, braucht man etwas Neues: das Minuszeichen vor dem Stockwerk! Wir sind also im Stock −3, also 3 Stockwerke unterhalb des Erdgeschosses.

Im fünften Bild fährt man ein Stockwerk weiter nach unten. Wir waren im Stock −3 und nach unten bedeutet minus. Am Ende sind wir 4 Stockwerke unter der Erde, also im Stock −4: −3−1=−4. Wenn also beide Zahlen negativ sind, addiert man ihren sogenannten Betrag (3 und 1) und schreibt vor dem Ergebnis wieder ein Minus. Im sechsten Bild fährt man aus dem 4 Stock unter der Erde (−4) 5 Stockwerke nach oben (nach oben bedeutet Plus machen) und befindet sich am Ende einen Stock oberhalb des Erdgeschosses (bei +1): −4+5=1. Wenn man zwei Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen hat, subtrahiert man die Beträge (größerer Betrag minus kleineren Betrag, hier: 5−4=1) und schreibt man vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größeren Betrags (also hier von 5, da sie mehr als 4 ist). Im vierten Bild haben wir 5−8 gerechnet. Da haben wir wieder die Beträge subtrahiert (größerer minus kleineren: 8−5=3) und im Ergebnis haben wir wieder das Vorzeichen des größeren Betrags geschrieben (also das Minus, das vor 8 steht): 5−8 = −3.

Zusammengefasst: Wenn man zwei Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen hat (z.B. 4+7 oder −3−5), dann addiert man die Beträge (4+7=11 und 3+5=8) und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen: (4+7=11 und −3−5 = −8). Wenn die eine Zahl positiv (+) ist und die andere negativ(−), subtrahiert man die Beträge und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größten Betrags: $\qquad \qquad \qquad$ 4−7=−3 $\qquad \qquad \qquad$ 15−9=6

Negative Zahlen werden immer mit einem Minus davor geschrieben, z.B. −6 oder −7,453 oder $-{\sqrt {87}}$ . Positive Zahlen werden mit einem Plus davor geschrieben, z.B. +6 oder +7,453 oder $+{\sqrt {87}}$ . Bei positiven Zahlen kann man das Vorzeichen auslassen. Zum Beispiel ist 6 die positive Zahl +6, mit 7,453 wird die positive Zahl +7,453 gemeint und mit ${\sqrt {87}}$ einfach $+{\sqrt {87}}$ .

Wenn allerdings das Plus oder das Minus nach der Zahl geschrieben wird, bedeutet es nicht, dass es eine positive oder negative Zahl ist. In diesem Fall erwartet man, dass noch eine Zahl folgen soll. 3− ist einfach unvollständig und auf gar keinen Fall die Zahl Minus drei ...

Weiteres über Rechnungen mit negativen Zahlen werden wir im Teilkapitel über die Plusminusregel lernen.

Das Komma bei Dezimalzahlen

Noch ein wichtiger Punkt bei der Schreibweise muss man noch kurz ansprechen. Und es geht hier genau um den Punkt.

Wenn man mit dem Taschenrechner die Division 2 durch 7 macht, kommt etwas wie folgendes vor:

$0.28571428...$

Das ist eine Zahl, die kleiner als eins ist. Auf Deutsch allerdings schreibt man:

$0{,}28571428...$

Falls der Unterschied nicht klar ist:

im ersten Fall steht zwischen 0 und dem Rest der Zahl ein Punkt:

$0\quad .\quad 28571428...$

im zweiten Fall ein Komma:

$0\quad {,}\quad 28571428...$

Man sagt auf Deutsch "Null Komma zwei acht fünf sieben...". Dieser Unterschied muss einem bewusst sein!

Auf Englisch und bei den meisten Taschenrechnern schreibt man

$8970063.4583$

oder sogar

$8{,}970{,}063.4583$ .

Auf Deutsch und in ein paar anderen Sprachen werden die beiden Teile umgekehrt durch ein Komma getrennt:

$8970063{,}4583$

oder sogar

$8.970.063{,}4583$ .

Auf diese Tatsache sollte man aufpassen!

Insbesondere wenn Menschen mit unterschiedlichen Kulturen, Sprachen oder Notationen Daten miteinander austauschen, kann dieser Unterschied für Verwirrung sorgen. Beim internationalen Datenaustausch und bei Programmiersprachen wird daher praktisch durchgehend der Punkt und nicht das Komma als Trennzeichen verwendet, in diesem Buch (wie allgemein auf Deutsch) allerdings das Komma.

Addition von Dezimalzahlen

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses

Addition	plus	+	2 + 7 =	9
(addieren, erhöhen)			Summand + Summand =	Summe

Beispiele: a) 35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=? b) 56333,76 + 0,089 + 33727,727 + 9=?

Lösungen

Aufgabe a
₂	₂	₁	₂	₁	₂		₁	₀

0	0	0	0	3	5	,	1
0	5	9	3	6	7	,	0	0
0	9	5	3	8	2	,	8	9
5	6	7	3	3	2	,	7	6

7	2	2	1	1	8	,	3	5

Aufgabe b
₁	₁	₀	₂	₁		₁	₁

5	6	3	3	3	,	7	6	0
0	0	0	0	0	,	0	8	9
3	3	7	2	7	,	7	2	7
0	0	0	0	9	,	0	0	0

9	0	0	7	0	,	5	7	6

Man schreibt die Zahlen, die man addieren will, untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Um die Aufgabe übersichtlicher zu machen, schreibt man links und rechts der Zahlen Nullen(0), wenn Ziffer (im Vergleich zu den anderen Zahlen) „fehlen“.

Man addiert die Zahlen von jeder Spalte und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links). Die Summe der Ziffer der Spalte schreibt man unterhalb dieser Spalte.

Wenn die Summe der Ziffer in der Spalte mehr als 9 ist, dann schreibt man unterhalb der Spalte nur die letzte Ziffer und die restlichen oberhalb der nächsten Spalte links. Z.B. bei der Aufgabe a ist die Summe der Ziffer der Spalte rechts (mit der man anfängt) 0+0+9+6=15. Man schreibt darunter 5 (die letzte Ziffer) und 1 (15 ohne 5) oberhalb der nächsten Spalte links usw. Hier ist Aufgabe a Schritt zum Schritt gezeigt:

Aufgabe a Schritt zum Schritt gelöst
35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?

Den ganzen Vorgang kann man
auch hier als Animation sehen:

Subtraktion von Dezimalzahlen

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses

Subtraktion	minus	−	65 − 22 =	43
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen)			Minuend − Subtrahend =	Differenz

Beispiele: a) 9,2-6,7 b) 9,5-6,4 c) 4752,8–203,007

Man schreibt die Zahlen untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Die Zahl oben muss genau so viele Ziffer vor und nach dem Komma haben, wie die Zahl unten. Daher schreibt man rechts der Zahl oben Nullen(0), wenn Ziffer in den Nachkommastellen (im Vergleich zur Zahl unten) „fehlen“.

Man subtrahiert die Zahlen von jeder Spalte (oben minus unten) und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links).

Wenn die Ziffer oben kleiner als die Ziffer unten ist, dann addiert man zu dieser Ziffer 10 und subtrahiert von der nächsten Ziffer oben links eins. In der nächsten Spalte links benutzt man dann oben die reduzierte Ziffer. Beispielsweise:

**Aufgaben a und b: 9,2−6,7=? 9,5-6,4=?**

Das ganze kann man hier auch als Animation sehen:

Bei größeren Zahlen macht man den ganzen Vorgang bei jedem Schritt.

**Aufgabe c: 4752,8–203,007=?**

Das Ganze kann man hier auch als Animation sehen:

**Noch ein paar gelöste Beispiele:**
Bsp. A 453,803−452,944=0,857	Bsp. B 504,6−3,6003=500,997	Bsp. C 200−199,9998=0,0002

aus Mathematrix: MA TER/ Theorie/ Grundrechenarten und Bruchrechnungen von Yomomo und anderen