Benutzer:MichaelFrey/NTC

Nehmen wir an, wir wollen mit einem NTCLE100E3 eine Analoge Schaltung aufbauen, welche eine zur Temperatur proportionale Ausgangsspannung hat.

Formell

Im Datenblatt findet sich diese Formel:

$R_{T}=R_{ref}\cdot e^{(A+B/T+C/T^{2}\cdot D/T^{3})}$

Praktischerweise findet sich im Datenblatt sogar die Umgestellte Formell:

$T(R)=(A_{1}+B_{1}\cdot \ln {\frac {R}{R_{Ref}}}+C_{1}\cdot \ln ^{2}{\frac {R}{R_{Ref}}}+D_{1}\cdot \ln ^{3}{\frac {R}{R_{Ref}}})^{-1}$

http://www.vishay.com/docs/29049/ntcle100.pdf

Schaltung

Verein­fachtes Schalt­bild eines Logarithmierers

Der logarithmus erscheint im ersten moment sehr unhandlich, jedoch existiert eine Operationsverstärker Schaltung, welche logarithmieren kann. Die Formel der nebenstehenden Schaltung ist:

$U_{a}=-m\cdot \ln \left({\frac {U_{e}}{n\cdot R}}\right)$

wobei:

$n=konst.$

$m=konst.$

Zu unserem Zwecke setzen wir Zusätzlich die eingangsspannungs konstant:

$U_{e}=konst.$

Der Widerstand R ist unser NTC-Widerstand.

Herleitung

Wir haben diese beiden Formeln:

$U_{a}=-m\cdot \ln \left({\frac {U_{e}}{n\cdot R}}\right)$

$R_{T}=R_{ref}\cdot e^{(A+B/T+C/T^{2}\cdot D/T^{3})}$

Vereinfachen wir die Formel für den Widerstand, in dem wir für eine erste Näherung die ANteile höhere Ordnung vernachlässigen:

$R_{T}\approx R_{ref}\cdot e^{(A+B/T)}$

Nun setzen wir R_T für R ein:

$U_{a}=-m\cdot \ln \left({\frac {U_{e}}{n\cdot R_{ref}\cdot e^{(A+B/T)}}}\right)$

$U_{a}=-m\cdot \ln({\frac {U_{e}}{n\cdot R_{ref}}})-m({\frac {1}{A+B/T}})$

Da $B/T\gg A$ können wir A vernachläsigen:

$U_{a}=-m\cdot \ln({\frac {U_{e}}{n\cdot R_{ref}}})-m({\frac {1}{B/T}})$

$U_{a}=-m\cdot \ln({\frac {U_{e}}{n\cdot R_{ref}}})-m({\frac {T}{B}})$

Wir können also schreiben:

$U_{a}\sim -T$

In Worten: $U_{a}$ ist näherungsweise Proportional zur Temperatur.

Die Beweissführung ist nicht hieb und stichfest: Wir haben mehre Variablen weggelassen, werden wir später entsprechende nicht-linearitäten in der Kennlinie haben.

Schaltung

erste Version

Die Herleitung beweist nur, dass unsere Schaltung funktioniert, wenn die Variablen wirklich vernachlässigt werden können. Ob dies der Fall ist, soll uns eine Simulation zeigen.

Die Simualtion zeigt uns schon ein Problem: Die Funktion ist alles andere als eine Gerade, wir haben also etwas unzulässigerweise vernachlässigt. Das Problem ist aber sehr simpel: Jede Silizum Diode hat auch einen Temperaturkoeffizenten.

zweite Version

Bei dieser Simulation haben wir den Temperatureinfluss auf die Diode ausgeschaltetet (Temperatur Absolut). Die Schaltung funktioniert also doch.

Natürlich können wir das so nicht stehen lassen: Eine Temperatur Messschaltung die nicht Temperatur stabil ist kann nicht funktionieren.

dritte Version

Dieses Problem ist exemplarisch und soll folgendes zeigen: Wer Messchatlungen bauen will, muss auf viele Details achten. Keine Komponente die im Schema auftaucht ist unwichtig: Jede Komponente hat eine wichtige Funktion.

Gain - Offset Korrektur

Verstärkung

Als nächstes muss der Bereich der Ausgangsspannung festgelegt werden:

$U_{out\vartheta 1}$ ist die Ausgangsspannung bei tiefster Temperatur und $\$U_{out\vartheta 2}\$$ Ausgangsspannung bei höchster Temperatur.

Da beide Funktionen, Geraden sind (oder zumindest sein sollen), ist die Verstärkung konstant:

$V_{U}={\frac {\Delta U_{out}}{\Delta U_{log}}}$ Die Differenz ausschreiben: ${\underline {\underline {V_{U}={\frac {U_{out\vartheta 2}-U_{out\vartheta 1}}{U_{log\vartheta 2}-U_{log\vartheta 1}}}}}}$

Mit der Formell für den invertieren Verstärker, können wir $R_{1}$ (in einem sinnvollen Rahmen) willkürlich festlegen und $R_{3}$ berechnen: $V_{U}=-{\frac {R3}{R1}}\rightarrow {\underline {\underline {R3=-V_{U}*R1}}}$

Offset

Das Ausgangssignal ist nun linear und hat nun die Richtige Steilheit, jetzt müssen wir nur noch den Offset abgleichen.

Hierzu verwende ich den Knotensatz: $I_{3}=I_{1}+I_{2}$

$I_{1}$ ist gegeben durch $I_{1}={\frac {U_{log}}{R_{1}}}$ da $U_{log}=U_{1}$, weil der Knotenpunkt K1 ein virtueller Nullpunkt ist.

$I_{3}$ ist gegeben durch $I_{3}={\frac {U_{out}}{R_{3}}}$

Es fehlt uns also nur noch $I_{2}$, welchen wir nun mittels Knotensatz bestimmen können: $I_{2}=I_{3}-I_{1}$

da auch gilt

$I_{2}={\frac {U_{2}}{R_{2}}}$

haben wir nun alle benötigten Gleichungen.

Da wir nur zwei mehr oder weniger konstante Spannungen haben (Logik und Operationsverstärkerspannung) die wir als $U_2$ verwenden können, macht es sind, die Formel nach dem Widerstand aufzulösen:

$R_{2}={\frac {U_{2}}{I_{2}}}$

$R_{2}={\frac {U_{2}}{I_{3}-I_{1}}}$

$R_{2}={\frac {U_{2}}{{\frac {U_{out}}{R_{3}}}+{\frac {U_{log}}{R_{1}}}}}$

Das ganze Rechnen wir noch beim Arbeitspunkt der niedrigsten Temperatur $\$\vartheta _{1}\$:$ (bei $\$\vartheta _{2}\$$ wäre die Rechnung eben so möglich und käme zum selben Resultat)

${\underline {\underline {R_{2}=-{\frac {U_{2}}{{\frac {U_{out\vartheta _{1}}}{R_{3}}}+{\frac {U_{log\vartheta _{1}}}{R_{1}}}}}}}}$