Benutzer:Lesendes Okapi/Teilchen im elektromagnetischen Feld

Diese Seite ist keinesfalls ein vollständiges Lehrwerk sondern nur ein Versuch die verschiedenen Formeln und Größen zu gruppieren. Sie erhebt keinen Anspruch auf Korrektheit, freut sich gleichwohl über Korrekturen. Die Seite hofft, mit der Zeit vom Autor weiter ausgebaut zu werden. Die Formeln werden noch in TeX-Schreibweise umgewandelt.

Phänomene und Geräte

Ladung

Eine Ladung ist eine Diskrepanz zwischen der Anzahl der Elektronen und Protonen eines Atoms. Im Alltag beobachten wir Ladungen, die durch Reibung entstehen. Dabei werden dem einen Körper Elektronen zufgeführt und er wird negativ geladen. Dem anderen Körper werden Elektronen entzogen und er wird positiv geladen. Gleichnamig geladene Körper stoßen einander ab, ungleichnamig geladene Körper ziehen einander an.

Elektrische Felder

Verschiedene Arten von elektrischen Feldern

Wie Magnete von Magnetfeldern umgeben sind, so sind auch elektrische Ladungen von elektrischen Feldern umgeben. Sie werden oft durch von plus nach minus verlaufende Feldlinien dargestellt, die immer senkrecht zur Leiteroberfläche beginnen. Man unterscheidet homogene, inhomogene und radiale Felder.

Polarisation und Influenz

Wirkt ein magnetisches Feld auf einen Körper aus nichtleitendem Stoff, so werden seine Dipolmoleküle in Richtung des Magnetfeldes ausgerichtet. Dies nennt man Polarisation.

Wirkt ein magnetisches Feld aber auf einen Körper aus leitendem, metallischem Stoff, so wandern alle Elektronen im Körper in Richtung Pluspol. Diese Eigenschaft kann sogar weitergegeben werden auf einen anderen Körper, der sich in die Nähe des ersten Körpers aufhält. Diese Beeinflussung bezeichnet man als Influenz.

Spule

Eine Spule besteht aus Draht, der immer die gleiche Richtung gewickelt ist - wie Nähgarn. Wird sie von Strom durchflossen, baut sich ein Magnetfeld ähnlich dem eines Stabmagneten auf; im Inneren befindet sich ein annähernd homologes Feld.

Man kann das Magnetfeld einer Spule verstärken, in dem man...

• Die Spannung erhöht,
• Die Windungszahl erhöht,
• oder einen Eisenkern in die Mitte der Spule einsetzt.

Handregeln

Linke-Hand-Regel

Linke-Hand-Regel

Die Linke-Hand-Regel ist sehr nützlich, um die ungefähre Ablenkung eines bewegten geladenen Teilchens durch die Lorenzkraft abzuschätzen.

Man nehme seine linke Hand und spreize Daumen, Zeige- und Mittelfinger derart ab, dass sie einen rechten Winkel einschließen. Wenn man nun den Daumen in Richtung eines Leiters (von Minus nach Plus) oder in Flugrichtung eines negativ geladenen Teilchens (z.B. Elektron) ausstreckt und den Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes (von Nord nach Süd) ausrichtet, so zeigt der Mittelfinger die Wirkungsrichtung der Lorenzkraft an.

Bei positiv geladenen Teilchen oder technischer Stromrichtung kann man auch die rechte Hand genauso verwenden.

Rechter-Daumen-Regel/Korkenzieherregel

Rechter-Daumen-Regel

Hinweis: Diese Regel funktioniert nur in die technische Stromrichtung, d.h. wenn man annimmt, dass der Strom von Plus nach Minus läuft. Für die tatsächliche Stromrichtung kann man die linke Hand verwenden.

Korkenzieherregel

Will man die Richtung des ringförmigen Magnetfeldes um einen stromdurchflossenen Leiter bestimmen, so kann man die Daumenregel anwenden: Wenn man den Leiter mit der rechten Hand so umfasst, dass der Daumen Richtung Minuspol zeigt , so zeigen die restlichen vier gekrümmten Finger in Richtung der Feldlinien.

Die Weinliebhaber können sich diesen Sachverhalt auch mit einem Korkenzieher verbildlichen: Zeigt die Spitze des Korkenziehers Richtung Minuspol, so ist die Drehrichtung des Griffs die Richtung der magnetischen Feldlinien.

Physikalische Größen und Formeln

Stromstärke I

Die Stromstärke ist eine Basiseinheit und wird in Ampere angegeben. Ihre Definition lautet:

"Ein Ampere ist die Stärke eines elektrischen Stromes, der durch zwei geradlinige parallele Leiter mit einem Abstand von einem "Meter fließt und der zwischen den Leitern je Meter Länge eine Kraft von $2\cdot 10^{-7}N$ hervorruft."

Praktisch gesehen ist die Stromstärke die Anzahl der Ladungen, die in einer bestimmten Zeit durch einen Leiterquerschnitt fließt.

$I={\frac {Q}{t}}$

$I$ = Stromstärke in Amphere, $Q$ = Ladungsmenge in Coulomb, $t$ = Zeit in Sekunden.

Spannung U

Die Spannung ist ein Maß für die Fähigkeit, Ladungen zu verschieben und wird in Volt gemessen. Oft ist sie als Maß der Leistungsfähigkeit auf Batterien und Ladekabeln angegeben.

$U={\frac {W}{Q}}$

$U$ = Spannung in Volt, $W$ = Arbeit in Joule, $Q$ = Ladungsmenge in Coulomb (erfährst du gleich).

Widerstand R

$R={\frac {U}{I}}$

Ladungsmenge Q

Die Ladungsmenge ist das Produkt aus Stromstärke und Zeit. Sie wird in Coulomb angegeben. Die kleinste mögliche Ladungsmenge ist die Elementarladung.

$Q=N\cdot {e}$

$Q$ = Ladungsmenge in Coulomb, $N$ = Teilchenzahl, $e$ = Elementarladung (siehe unten).

Elektrische Feldstärke E

Die Elektrische Feldstärke ist ein Maß für die Stärke eines elektrischen Feldes und wird mittels einer Probeladung q bestimmt. Es gilt :

$E={\frac {F}{q}}$

Sie wird in N/C (Newton pro Coulomb) oder V/m (Volt pro Meter) angegeben, und das sehen wir, wenn wir $F={\frac {W}{d}}$ einsetzen:

$E={\frac {W}{d\cdot {q}}}$, und dann nur noch $W=U\cdot {q}$ einsetzen:

$E={\frac {U\cdot \not {q}}{d\cdot \not {q}}}={\frac {U}{d}}$

$E$ = elektrische Feldstärke, $F$ = Kraft in Newton, $q$ = Kapazität in Coulomb, $W$ = Arbeit in Watt, $d$ = Abstand der Kondensatorplatten in Metern, $U$ = Spannung in Volt

Kapazität C

Die Kapazität eines Körpers ist von der Spannung und der Ladung abhängig und wird in Farad angegeben. Der Zusammenhang ist folgender:

$C={\frac {Q}{U}}$

$C$ = Kapazität in Farad, $Q$ = Ladungsmenge in Coulomb, $U$ = Spannung in Volt.

Sie einem Plattenkondensator kann sie aber auch über die Fläche, den Abstand und das Dielektrikum errechnet werden:

$C=\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}\cdot {\frac {A}{d}}$

$\varepsilon _{0}$ = elektrische Feldkonstante, $\varepsilon _{r}$ = Permitivitätszahl, $A$ Fläche in Quadratmeter, $d$ = Plattenabstand in Metern.

Magnetische Flussdichte B

Die magnetische Dichte beschreibt die Dichte des magnetischen Flusses. Sie wird in Tesla angegeben und ist ein übliches Maß für die Stärke von Magneten.

In der Nähe eines stromdurchflossenen Leiters berechnet sie sich folgendermaßen:

$B=\mu _{0}\cdot {\frac {I}{2\pi {r}}}$

$B$ = magnetische Flussdichte in Tesla, $\mu _{0}$ = magnetische Feldkonstante in Henry pro Meter, $I$ = Spannung in Ampere, $r$ = Radius in Metern.

Lorenzkraft F_L

Die Lorenzkraft ist die Kraft, die auf einen bewegten geladenen Körper in einem magnetischen Feld wirkt. Sie wird in Newton angegeben. Sie ist eine vektorielle Größe:

${\vec {F}}=q\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}$

Aber meist reicht die folgende Umformung, da meist nur nach der Stärke und nicht nach der Richtung gefragt ist:

$F=q\cdot {B}\cdot \sin(\upsilon )$

${\vec {F}},F$ = Lorenzkraft (in Newton), $q$ = Ladung in Coulomb, ${\vec {v}}$ = Geschwindigkeitsvektor, ${\vec {B}},B$ = magnetische Flussdichte (in Tesla), $\upsilon$ = zwischen der Bewegungsrichtung des Körpers und den Feldlinien des Magnetfeldes eingeschlossener Winkel

Die Lorenzkraft wirkt im rechten Winkel zur Feldrichtung und Bewegungsrichtung. Befinden sich letztere im rechten Winkel, ist die Kraft am größten, weisen beide in die gleiche Richtung, so ist sie gleich 0. Die grobe Richtung kann man gut durch die Drei-Finger-Regel abschätzen.

Coulombsches Gesetz

Mithilfe des Coulombschen Gesetzes können wir die Kraft zwischen zwei Punktladungen berechnen.

$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}$

$F$ = Kraft in Newton, $\varepsilon _{0}$ = elektrische Feldkonstante, $\varepsilon _{r}$ = Permitivitätszahl, $Q_{1},Q_{2}$ = Ladung der beiden Körper, $r$ = Mittelpunktabstand der beiden Körper.

Der Bruch wird traditionell nicht zusammengefasst, sondern der erste Teil als Konstante mit dem Wert $8{,}99\cdot 10^{9}m/F$ behandelt.

Berechnungen

Homogenes Feld

Ein homogenes Feld ist überall gleich stark und gleich gerichtet. Man findet es zwischen zwei Platten eines Kondensators oder im Inneren eines Hufeisenmagnets.

$E={\frac {U}{d}}$

Durch die Substitution der Formel $F=E\cdot {q}$ mit dem oberen Ausdruck erhalten wir:

$F={\frac {U\cdot {q}}{d}}$

Die Arbeit W errechnen wir, in dem wir in die Formel aus der Mechanik $W=F\cdot {s}$ den oben genannten Ausdruck für $F$ einsetzen:

$W=Q\cdot {E}\cdot {s}$, wobei wir die letzten beiden Größen durch die Spannung U ersetzen können und als Ergebnis haben:

$W=Q\cdot {U}$

Radiales Feld

Ein Radialfeld ist ein Feld, das von einem geladenen kugelförmigen Körper ausgeht. Seine Berechnung ist leider etwas schwieriger als die eines homogenen Feldes.

$E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}{\frac {Q}{r^{2}}}$

Zur Berechnung der Kraft setzen wir wie beim homogenen Feld den oberen Ausdruck in die Formel $F=E\cdot {q}$ ein und erhalten

$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}{\frac {Q\cdot {q}}{r^{2}}}$

Wie man unschwer erkennt, ist es das Coulombsche Gesetz, nur mit $Q_{1}$ als "Feldquelle" und $Q_{2}$ als Probeladung.

Die Arbeit lässt sich hingegen nur mittels eines Integrals berechnen.

$W=\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}F(r)dr$

Den unveränderlichen Teil von $F$ packen wir außerhalb der Formel:

$W={\frac {Q\cdot {q}}{r^{2}}}\cdot \int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r^{2}}}dr$, und das können wir ausrechnen als:

$W={\frac {Q\cdot {q}}{r^{2}}}\cdot ({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}})$

Parallelschaltung von Kondensatoren

Werden Kondensatoren parallel geschaltet, so ist die Spannung an allen Kondensatoren gleich:

$U=U_{1}=U_{2}=U_{3}=...$

Die Gesamtkapazität ist aber gleich der Summe der Kapazitäten aller Kondensatoren:

$C=C_{1}+C_{2}+C_{3}...$, dies lässt sich auch unschwer herleiten:

$C={\frac {Q}{U}}={\frac {Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+...}{U}}$, und wenn wir dann wieder $Q=C\cdot {U}$ einsetzen, erhalten wir:

$C={\frac {C_{1}\cdot {U}+C_{2}\cdot {U}+C_{3}\cdot {U}+...}{U}}$ Wenn wir alle $U$ im Zähler ausklammern und rauskürzen, erhalten wir obige Formel.

Die Ladungen berechnen sich übrigens genauso:

$Q=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}...$

Reihenschaltung von Kondensatoren

Bei einer Reihenschaltung sind nur die äußeren zwei Kondensatoren mit der Spannungsquelle verbunden, aber alle Kondensatoren werden durch Influenz trotzdem aufgeladen. Die Ladung ist deswegen an allen Kondensatorpaaren gleich:

$Q=Q_{1}=Q_{2}=Q_{3}=...$

Und die Kapazität können wir erneut versuchen uns herzuleiten:

${\frac {Q}{C}}={\frac {Q}{C_{1}}}+{\frac {Q}{C_{2}}}+{\frac {Q}{C_{3}}}+...$

Wir können Q erneut ausklammern - mithilfe des Distributivgesetzes, dass sich auch auf die Division erstreckt - und dann auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens wegkürzen. Dann erhalten wir:

${\frac {1}{C}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}+{\frac {1}{C_{3}}}+...$

Die Spannung hingegen wird addiert.

$U=U_{1}+U_{2}+U_{3}+...$

Beeinflussung geladener Teilchen in Feldern

Geladene Teilchen werden in elektrischen und magnetischen Feldern beeinflusst. Geladene Teilchen können zum Beispiel Elektronen, Protonen, Ionen oder Zerfallsprodukte von radioaktiven Stoffen sein.

Nachfolgend werden wir nur homogene Felder betrachten. Homogene elektrische Felder treten zwischen zwei Kondensatorplatten, homogene magnetische Felder innerhalb eines Hufeisenmagneten.

Im elektrischen Feld

Ruhende Teilchen werden in Richtung der Feldlinien beschleunigt.

Die Beschleunigung können wir uns folgendermaßen herleiten:

${\vec {F_{el}}}=q\cdot {\vec {E}}$, aber auch $F=m\cdot a$

durch Zusammenführung und Umformung erhalten wir

$a={\frac {\vec {F_{el}}}{m}}={\frac {q\cdot {\vec {E}}}{m}}$

Bei Bewegung parallel zu den Feldlinien werden die Teilchen entweder beschleunigt oder abgebremst.

Wollen wir nach den Weg $y$ nach einer Zeit $t$ berechnen, so setzen wir unsere oben soeben hergeleitete Beschleunigung in die Formel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ein:

$y=v_{0}\cdot t+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {q\cdot E}{m}}\cdot t^{2}$

Die Geschwindigkeit berechnet sich analog durch Einsetzen der oben berechneten Beschleunigung:

$v=v_{0}+{\frac {q\cdot E}{m}}\cdot t$

In vielen Fällen kann man die Anfangsgeschwindigkeit vernächlässigen. Dann sehen die beiden Formeln so aus:

$y={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {q\cdot E}{m}}\cdot t^{2}$ und $v={\frac {q\cdot E}{m}}\cdot t$

Durch Umformen der zweiten Formel nach $t$ und Einsetzen in die erste Formel erhalten wir:

$y={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {q\cdot E}{m}}\cdot ({\frac {m\cdot v}{q\cdot E}})^{2}$

Durch Umformen nach $v$ erhalten wir:

$v={\sqrt {2\cdot {\frac {q\cdot E\cdot y}{m}}}}$. Darüberhinaus gilt im homogenen Feld $E\cdot y=U$, und durch Einsetzen erhalten wir die etwas übersichtlichere Formel

$v={\sqrt {2\cdot U\cdot {\frac {q}{m}}}}$

Bei Bewegung senkrecht zu den Feldlinien werden die Teilchen in Richtung der Feldlinien beschleunigt. Dadurch entsteht eine Parabelbahn.

Dies ist das selbe Prinzip wie beim waagerechten Wurf - die Geschwindigkeit $v$ setzt sich aus der gleichförmigen geradlinigen Komponente $v_{x}=v_{0}$ und der gleichmäßig beschleunigten Komponente $v_{y}=a\cdot t={\frac {q\cdot {\vec {E}}}{m}}\cdot t$ zusammen.

Die Formel für die Bahnkurve beträgt:

$y={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {q\cdot E}{m}}\cdot ({\frac {x}{v_{0}}})^{2}={\frac {q\cdot E}{2\cdot m\cdot v_{0}^{2}}}\cdot x^{2}$

Auch der Austrittswinkel lässt sich berechnen, der Austrittswinkel ist nämlich der Tangens von $v_{x}$ und $v_{0}$:

$\tan \phi ={\frac {v_{y}}{v_{x}}}={\frac {q\cdot E}{m\cdot v_{0}}}\cdot t$

Im magnetischen Feld

Im magnetischen Feld kann auf geladene Teilchen die Lorenzkraft wirken.

Ruhende Teilchen erfahren im magnetischen Feld keine Kraft und bleiben in Ruhe. bei Bewegung parallel zu den Feldlinien erfahren die Teilchen ebenfalls keine Kraft, sondern bewegen sich geradlinig und gleichförmig weiter.

Die Lorenzkraft ist das Kreuzprodukt aus Geschwindigkeits- und Feldrichtung.

${\vec {F_{L}}}=q\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {B}})$

Wenn beide Vektoren in die gleiche Richtung weisen, ist das Kreuzprodukt null.

bei Bewegung senkrecht zu den Feldlinien: Die Lorenzkraft wirkt maximal und im rechten Winkel zur Bewegungsrichtung und zu den Feldlinien. Es entsteht eine Kreisbahn.

In diesem Fall, wo die Bewegungsrichtung senkrecht zur Lorenzkraft wirkt, dürfen wir die obige Formel zu

${F_{L}}=q\cdot {v}\cdot {B}$

vereinfachen. Wollen wir den Radius der Kreisbahn bestimmen, so setzen wir die Zentripetalkraft $F_{Z}$ mit der Lorenzkraft $F_{L}$ gleich:

${\frac {m\cdot v^{2}}{r}}=q\cdot v\cdot B$

dies brauchen wir nur noch nach $r$ umzuformen und erhalten

$r={\frac {m\cdot v}{q\cdot B}}$

Bei Bewegung schräg zu den Feldlinien: Die Teilchen bewegen sich auf einer Schraubenlinie.

Konstanten

Elementarladung e

Die Elementarladung ist die kleinstmögliche Ladung, nämlich die Ladung eines Elektrons. Alle Ladungen sind Vielfache der Elementarladung. Sie wurde erstmals von Robert Millikan gemessen.

$e=1{,}602\ldots \cdot 10^{-19}C$

magnetische Feldkonstante μ₀

Die magnetische Feldkonstante tritt in Formeln rund um die Magnetkraft auf.

$\mu _{0}\;=\;4\,\pi \cdot 10^{-7}{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {A} ^{2}}}\;=\;1{,}2566\ldots \cdot 10^{-6}{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {A} ^{2}}}$