Herleitung einer Näherungsformel ohne Berücksichtigung der Zurückdrängung höherer Protolysestufen durch vorhergehende
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Reaktionsgleichungen
(
1
)
H
3
P
O
4
+
H
2
O
{\displaystyle (1)\ H_{3}PO_{4}+H_{2}O}
⟵
→
H
3
O
+
+
H
2
P
O
4
−
{\displaystyle {\overrightarrow {\longleftarrow }}\ H_{3}O^{+}+H_{2}PO_{4}^{-}}
(
2
)
H
2
P
O
4
−
+
H
2
O
{\displaystyle (2)\ H_{2}PO_{4}^{-}+H_{2}O}
⟵
→
H
3
O
+
+
H
P
O
4
2
−
{\displaystyle {\overrightarrow {\longleftarrow }}\ H_{3}O^{+}+HPO_{4}^{2-}}
(
3
)
H
P
O
4
2
−
+
H
2
O
{\displaystyle (3)\ HPO_{4}^{2-}+H_{2}O}
⟵
→
H
3
O
+
+
P
O
4
3
−
{\displaystyle {\overrightarrow {\longleftarrow }}\ H_{3}O^{+}+PO_{4}^{3-}}
die erste Protolysestufe:
K
=
Π
c
(
E
d
u
k
t
e
)
Π
c
(
P
r
o
d
u
k
t
e
)
{\displaystyle K={\frac {\Pi c(Edukte)}{\Pi c(Produkte)}}}
K
1
=
c
(
H
3
O
+
(
1
)
)
⋅
c
(
H
2
P
O
4
−
)
c
(
H
3
P
O
4
)
⋅
c
(
H
2
O
)
{\displaystyle K_{1}={\frac {c(H_{3}O^{+(1)})\cdot c(H_{2}PO_{4}^{-})}{c(H_{3}PO_{4})\cdot c(H_{2}O)}}}
mit
c
(
H
3
O
+
(
1
)
)
{\displaystyle c(H_{3}O^{+(1)})}
als die in der ersten Protolysestufe entstandene H3 O+ -Konzentration.
Randbedingungen:
k
s
1
=
k
1
⋅
c
(
H
2
O
)
{\displaystyle k_{s1}=k_{1}\cdot c(H_{2}O)}
c
(
H
3
O
+
(
1
)
)
=
c
(
H
2
P
O
4
−
)
{\displaystyle c(H_{3}O^{+(1)})=c(H_{2}PO_{4}^{-})}
Diese Protolysestufe hat einen hohen KS , [pKS1 = pKS (H3 PO4 ) = 2,16]. Sie gilt nach der Protolyteinteilung nach Kunze als starke Säure. Daraus folgt, dass die Konzentration an Dihydrogenphosphat (und damit die Hydromiumionenkonzentration) messbare Ausmaße erreicht:
c
(
H
3
P
O
4
)
=
c
0
(
H
3
P
O
4
)
−
c
(
H
2
P
O
4
−
)
=
c
0
(
H
3
P
O
4
)
+
c
(
H
3
O
+
(
1
)
)
{\displaystyle c(H_{3}PO_{4})=c_{0}(H_{3}PO_{4})-c(H_{2}PO_{4}^{-})=c_{0}(H_{3}PO_{4})+c(H_{3}O^{+(1)})}
K
S
1
=
K
S
(
H
3
P
O
4
)
=
c
2
(
H
3
O
+
(
1
)
)
c
0
(
H
3
P
O
4
)
−
c
(
H
3
O
+
(
1
)
)
{\displaystyle K_{S1}=K_{S}(H_{3}PO_{4})={\frac {c^{2}(H_{3}O^{+(1)})}{c_{0}(H_{3}PO_{4})-c(H_{3}O^{+(1)})}}}
c
2
(
H
3
O
+
(
1
)
)
=
−
K
S
1
⋅
c
(
H
3
O
+
(
1
)
)
+
K
S
1
⋅
c
0
(
H
3
P
O
4
)
{\displaystyle c^{2}(H_{3}O^{+(1)})=-K_{S1}\cdot c(H_{3}O^{+(1)})+K_{S1}\cdot c_{0}(H_{3}PO_{4})}
Dies ist eine quadratischen Gleichung, die auf die herkömmliche Weise gelöst werden kann. Nullform der quadratischen Gleichung:
0
=
c
2
(
H
3
O
+
(
1
)
)
+
K
S
1
⋅
c
(
H
3
O
+
(
1
)
)
−
K
S
1
⋅
c
0
(
H
3
P
O
4
)
{\displaystyle 0=c^{2}(H_{3}O^{+(1)})+K_{S1}\cdot c(H_{3}O^{+(1)})-K_{S1}\cdot c_{0}(H_{3}PO_{4})}
Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
x
1
;
2
=
−
p
2
±
(
p
2
)
2
−
q
{\displaystyle \ x_{1;2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}
mit
p
=
K
S
1
{\displaystyle p=K_{S1}}
und
q
=
−
K
S
1
⋅
c
o
(
H
3
P
O
4
)
{\displaystyle q=-K_{S1}\cdot c_{o}(H_{3}PO_{4})}
Daraus folgt
c
(
H
3
O
+
(
1
)
)
=
−
K
S
1
2
+
(
K
S
1
2
)
2
+
K
S
1
⋅
c
o
(
H
3
P
O
4
)
{\displaystyle c(H_{3}O^{+(1)})=-{\frac {K_{S1}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {K_{S1}}{2}}\right)^{2}+K_{S1}\cdot c_{o}(H_{3}PO_{4})}}}
