Benutzer:Jürgen-Michael Glubrecht/Natürliche Zahlen

Axiome

1.1 Nullmengenaxiom

${\begin{aligned}&\varnothing \in {\mathcal {V}}\\&\color {Black}{\text{Die leere Klasse ist eine Menge.}}\end{aligned}}$

1.2 Paarmengenaxiom

${\begin{aligned}&\forall x,y:\{x,y\}\in {\mathcal {V}}\\&\color {Black}{\text{Alle Klassen mit zwei Elementen sind Mengen.}}\end{aligned}}$

1.3 Vereinigungsmengenaxiom

${\begin{aligned}&\forall x:\bigcup x\in {\mathcal {V}}\\&\color {Black}{\text{Die Vereinigung einer Menge ist wieder eine Menge.}}\end{aligned}}$

1.4 Aussonderungsaxiom

${\begin{aligned}&\forall x:({\mathcal {K}}\subseteq x\Rightarrow {\mathcal {K}}\in {\mathcal {V}})\\&\color {Black}{\text{Die Teilklasse einer Menge ist eine Menge.}}\end{aligned}}$

Einzelne natürliche Zahlen

Üblicherweise werden die natürlichen Zahlen ${\boldsymbol {0,1,2,3,...}}$ in der Mengenlehre nach John von Neumann wie folgt definiert. Die Idee hinter dieser Definition ist folgende: Die Zahl ${\boldsymbol {n}}$ soll eine Menge mit $n$ Elementen sein. Da es nur eine Menge ohne Elemente gibt, muss ${\boldsymbol {0}}:=\varnothing$ sein. Für die ${\boldsymbol {1}}$ benötigen wir eine Menge mit einem Element. Da wir gerade die ${\boldsymbol {0}}$ definiert haben, nehmen wir diese: ${\boldsymbol {1}}:=\{{\boldsymbol {0}}\}$. Dieses Schema lässt sich fortsetzen: um beispielsweise die Zahl ${\boldsymbol {7}}$ zu definieren, nehmen wir die $6$ Elemente der ${\boldsymbol {6}}$ – nämlich $\{\color {BurntOrange}{\boldsymbol {0,1,2,3,4,5}}\color {Black}\}$ – und fügen die ${\boldsymbol {6}}$ selbst als siebtes Element dazu: $\{\color {BurntOrange}{\boldsymbol {0,1,2,3,4,5}}\color {Black}{\boldsymbol {\,}},6\}$. Also:

2.1 Natürliche Zahlen einzeln

Wir definieren der Reihe nach die einzelnen natürlichen Zahlen wie folgt:

${\boldsymbol {0}}$	$:=\varnothing$
${\boldsymbol {1}}$	$:=0'$	$=0\cup \{0\}$	$=\color {Cerulean}\{\varnothing \}$	$=\{0\}$
${\boldsymbol {2}}$	$:=1'$	$=1\cup \{1\}$	$=\{\varnothing ,\color {Cerulean}\{\varnothing \}\color {Black}\}$	$=\{0,1\}$
${\boldsymbol {3}}$	$:=2'$	$=2\cup \{2\}$	$=\{\varnothing ,\color {Cerulean}\{\varnothing \},\color {Red}\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\color {Black}\}$	$=\{0,1,2\}$
${\boldsymbol {4}}$	$:=3'$	$=3\cup \{3\}$	$=\{\varnothing ,\color {Cerulean}\{\varnothing \},\color {Red}\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\color {Green}\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\color {Black}\}$	$=\{0,1,2,3\}$
usw.

Nach dieser Definition hat die Zahl ${\boldsymbol {n}}$ gerade $n$ Elemente, nämlich genau alle Vorgänger-Zahlen. Dabei ist der Nachfolger ${\mathcal {K}}'$ einer Klasse ${\mathcal {K}}$ wie folgt definiert:

2.2 Nachfolger, Vorgänger

Ist ${\mathcal {K}}$ eine Klasse, dann ist ${\mathcal {K}}':={\mathcal {K}}\cup \{{\mathcal {K}}\}$.

${\mathcal {K'}}$ ist der Nachfolger von ${\mathcal {K}}$, ${\mathcal {K}}$ heisst Vorgänger von ${\mathcal {K}}'$.

${\boldsymbol {V}}[{\mathcal {K}}]:=\{\,x\,|\exists y\in {\mathcal {K}}:x'=y\}$ ist die Klasse aller Vorgänger von Elementen aus ${\mathcal {K}}$.

Ist ${\mathcal {K}}$ eine Menge, so ist auch ${\mathcal {K}}'$ eine Menge. Das ergibt sich aus dem Paarmengen- und dem Vereinigungsmengen-Axiom. Nach dem Nullmengen-Axiom ist die ${\boldsymbol {0}}$ eine Menge. Die anderen natürlichen Zahlen sind Nachfolger von Mengen. Also sind alle natürlichen Zahlen Mengen.

Auf diese Weise lässt sich jede einzelne natürliche Zahl definieren. Doch wie definieren wir die Klasse $\mathbb {N}$ aller natürlichen Zahlen? Bevor wir uns dieser Frage zuwenden, wollen wir ein paar einfache Sätze über die so definierten natürlichen Zahlen zeigen.

2.3 Transitive Klassen

${\mathcal {K}}{\text{ ist transitiv}}:\Leftrightarrow \forall x\in {\mathcal {K}}:x\subseteq {\mathcal {K}}$

Eine Klasse ${\mathcal {K}}$ ist transitiv genau dann, wenn jedes Element von ${\mathcal {K}}$ auch eine Teilmenge von ${\mathcal {K}}$ ist.

Es gilt:

2.4 SATZ: Alle natürlichen Zahlen sind transitiv.

BEWEIS: Wir zeigen das durch Induktion über ${\boldsymbol {n}}$.

Für ${\boldsymbol {0}}$ ist nichts zu zeigen, denn $\varnothing$ hat keine Elemente.

Gelte die Behauptung für ${\boldsymbol {n}}$, es gelte also $\forall x\in {\boldsymbol {n}}:x\subseteq {\boldsymbol {n}}$.

Sei $x\in {\boldsymbol {n'}}$. Dann ist $x\in {\boldsymbol {n}}$ oder $x={\boldsymbol {n}}$.
Ist $x\in {\boldsymbol {n}}$ folgt mit der Induktionsvoraussetzung $x\subseteq {\boldsymbol {n}}\subseteq {\boldsymbol {n'}}$.
Ist $x={\boldsymbol {n}}$ folgt direkt $x={\boldsymbol {n}}\subseteq {\boldsymbol {n'}}$. ✔

Klasse der natürlichen Zahlen

Üblicherweise so:

Definition (Natürliche Zahlen)

$\mathbb {N} :=\bigcap \{x\,|\,{\boldsymbol {0}}\in x\land \forall y\in x:y'\in x\}$.

Demnach betrachten wir die Klasse aller Mengen, die ${\boldsymbol {0}}$ enthalten und gegen die Bildung von Nachfolgern abgeschlossen sind. Solche Klassen heissen induktiv. Da sie die ${\boldsymbol {0}}$ enthalten, müssen sie auch die ${\boldsymbol {1}}$ als Nachfolger von ${\boldsymbol {0}}$ enthalten, weiterhin die ${\boldsymbol {2}}$ als Nachfolger von ${\boldsymbol {0}}$, usw. Also sind alle natürlichen Zahlen Elemente von induktiven Mengen und der Durchschnitt liefert gerade diese. In diesem Sinne ist $\mathbb {N}$ die kleinste induktive Menge.

Die Sache hat aber einen Schönheitsfehler: gibt es induktive Mengen? Wenn es nämlich keine induktiven Mengen gibt - sondern allenfalls induktive Klassen - dann ist $\{x\,|\,{\boldsymbol {0}}\in x\land \forall y\in x:y'\in K\}=\varnothing$ und $\mathbb {N} =\bigcap \varnothing ={\mathcal {V}}$ und $\mathbb {N}$ wäre die Allklasse. Das ist aber nicht das Gewünschte, denn $\mathbb {N}$ sollte nur die oben definierten natürlichen Zahlen enthalten und keine anderen Mengen, wie beispielsweise $\{{\boldsymbol {1}}\}$. Wir brauchen daher ein Axiom, das die Existenz von induktiven Mengen gewährleistet. Da induktive Klassen unendlich viele Elemente haben, wird dieses Axiom Unendlichkeitsaxiom genannt.

Unendlichkeitssaxiom

${\begin{aligned}&\exists x:(\varnothing \in x\land \forall y\in x:y'\in x)\\&\color {Black}{\text{Es gibt eine Menge, die }}\varnothing {\text{ und alle Nachfolger enthält!}}\end{aligned}}$

Damit ist sicher gestellt, dass die Klasse $\mathbb {N}$ genau die eingangs definierten natürlichen Zahlen enthält! Mit dem Aussonderungsaxiom ist der Durchschnitt über eine nichtleere Klasse eine Menge, also ist $\mathbb {N}$ eine Menge.

W.v.O. Quine

Definition (Natürliche Zahlen)

$\mathbb {N} :=\{x\,|\,\forall z:x\in z\land {\boldsymbol {V}}[z]\subseteq z\Rightarrow 0\in z\}$

Quine betrachtet Mengen, die gegen Vorgängerbildung abgeschlossen sind. $x$ ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn in allen diesen Mengen gilt: wenn sie $x$ enthalten, dann auch ${\boldsymbol {0}}$. Natürlich gilt ${\boldsymbol {0}}\in \mathbb {N}$. Sei nun $n\in \mathbb {N}$. Wir betrachten $n'$ und eine beliebige vorgängerabgeschlossene Menge $z$. Ist $n'\notin z$ gilt die Implikation ohnehin, also sei $n'\in z$. Dann enthält $z$ auch den Vorgänger $n$ von $n'$. Also gilt $n\in z\land V[z]\subseteq z\Rightarrow 0\in z$ und somit $0\in z$. Das zeigt $n'\in \mathbb {N}$. Somit ist $\mathbb {N}$ eine induktive Klasse und enthält alle einzeln definierten natürlichen Zahlen ${\boldsymbol {n}}$.

ACHTUNG: Wenn es keine Menge ${\boldsymbol {z}}$ mit den in der Definition von $\mathbb {N}$ geforderten Eigenschaften gibt, wäre $\mathbb {N} ={\mathcal {V}}$.

Satz (Natürliche Zahlen)

$\mathbb {N}$ erfüllt die Peano-Axiome:

1. $0\in \mathbb {N}$   (0 ist eine natürliche Zahl.)
2. $\forall x\in \mathbb {N} :x'\in \mathbb {N}$   (Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Nachfxolger.)
3. $\forall x\in \mathbb {N} :x'\neq 0$   (0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.)
4. $\forall x\in \mathbb {N} \;\forall y\in \mathbb {N} :x'=y'\Rightarrow x=y$   (Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.)
5. ${\mathcal {K}}$ sei eine beliebige Klasse:
   $0\in {\mathcal {K}}\land (\forall x\in \mathbb {N} :x\in {\mathcal {K}}\Rightarrow x'\in {\mathcal {K}})\Rightarrow \mathbb {N} \subseteq {\mathcal {K}}$
   (Ist 0 aus ${\mathcal {K}}$ und gilt für jede natürliche Zahl, wenn sie in ${\mathcal {K}}$ ist, dann ist auch ihr Nachfolger in ${\mathcal {K}}$, dann sind alle natürlichen Zahlen in ${\mathcal {K}}$)

Wir zeigen Punkt 4. zum Schluss.

Beweis (Natürliche Zahlen)

1. Sei $z$ eine beliebige Menge mit $0\in z$ und ${\boldsymbol {V}}[z]\subseteq z$. Dann folgt natürlich $0\in z$, also gilt $0\in \mathbb {N}$. ✔
2. Sei $x\in \mathbb {N}$, $z$ eine beliebige Menge, $x'\in z$ und ${\boldsymbol {V}}[z]\subseteq z$. Da $x$ ein Vorgänger von $x'$ ist und $z$ vorgängerabgeschlossen ist, gilt auch $x\in z$. Daraus folgt $0\in z$, also gilt $x'\in \mathbb {N}$. ✔
3. Da ein Nachfolger immer wenigstens ein Element enthält, ist er nicht leer. Also gilt $x'\neq 0$. ✔
4. ...
5. Sei ${\mathcal {K}}$ eine beliebige Klasse, $x\in \mathbb {N}$ und $z$ eine beliebige Menge mit $x\in z$ und ${\boldsymbol {V}}[z]\subseteq z$. Dann gilt nach Definition von $\mathbb {N}$   $0\in z$. Insbesondere gilt das für $z:=\{y\,|\,y\leq x\}\cap {\mathcal {K}}^{\complement }$. Mit dem Aussonderungsaxiom ist das so definierte $z$ eine Menge! Mit der Prämisse $\forall x\in \mathbb {N} :x\in {\mathcal {K}}\Rightarrow x'\in {\mathcal {K}}$ folgt ${\boldsymbol {V}}[z]\subseteq z$. Wäre $x\in z$ folgte $0\in z$ also $0\notin {\mathcal {K}}$ ↯ denn es gilt ja $0\in {\mathcal {K}}$. Somit gilt $x\notin z$, also $x\in {\mathcal {K}}$. Insgesamt also $\mathbb {N} \subseteq {\mathcal {K}}$. ✔