Benutzer:Jürgen-Michael Glubrecht/Klassenlogik

Formale Sprache

Definition (Formeln und Terme)

Die Formeln und Terme werden nach folgenden Regeln gebildet:

1. Jede Aussagenkonstante   $\alpha$   ist eine Formel.
2. Jede Variable   $x$   und jede Konstante   $C$   ist ein Term.
3. Sind $A$ und $B$ Terme, so sind   $A=B$   und   $A\in B$   Formeln.
4. Sind $\phi$ und $\psi$ Formeln, so sind auch   $\top$,   $\bot$,   $\neg \phi$,   $\phi \land \psi$,   $\phi \lor \psi$,   $\phi \rightarrow \psi$,   $\phi \leftrightarrow \psi$   Formeln.
5. Ist $\phi$ eine Formel und $x$ eine Variable, so sind auch   $\forall x\,\phi$   und   $\exists x\,\phi$   Formeln.
6. Ist $\phi$ eine Formel und $x$ eine Variable, so ist   $\{x\,|\,\phi \}$   ein Term.

Bewertung

Eine Präbewertung ${\mathcal {J}}$

1. legt eine Menge ${\mathfrak {O}}$ als Objektbereich und eine nichtleere Teilmenge $\varnothing \neq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}$ als Individuenbereich fest,
2. legt eine zweistellige Relation ${\mathsf {E}}\subseteq {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {O}}$ als Elementbeziehung fest, für die gilt:
   1. seien $X,Y$ beliebige Objekte aus ${\mathfrak {O}}$, wenn $z\;{\mathsf {E}}\;X\Longleftrightarrow z\;{\mathsf {E}}\;Y$ für alle $z$ aus ${\mathfrak {B}}$, dann $X=Y$,
   2. es gibt ein $X$ aus ${\mathfrak {O}}$, so dass für alle $z$ aus ${\mathfrak {B}}$ gilt: $z\;{\mathsf {E}}\;X$,
3. ordnet allen Variablen $x$ ein Element aus ${\mathfrak {B}}$ zu,
4. ordnet allen Konstanten $C$ ein Element aus ${\mathfrak {O}}$ zu,
5. ordnet allen Aussagenkonstanten $\alpha$ ein Element aus $\{{\mathsf {W}},{\mathsf {F}}\}$ zu,

Wir setzen die Präbewertung wie folgt auf alle Terme und Formeln fort:

1. ${\mathcal {J}}(\{x\,|\,\phi \})={\begin{cases}{\text{das Objekt X aus }}{\mathfrak {O}}{\text{ mit }}\{z\,|\,z\;{\mathsf {E}}\;X\}=\{z\,|\;{\mathcal {J_{c}^{x}}}(\phi )={\mathsf {W}}\},{\text{ wenn ein solches X existiert}}\\{\text{undefiniert, sonst}}\end{cases}}$

Definitionen

Geordnete Paare

Definition (Geordnete Paare)

Seien $A$ und $B$ zwei beliebige Mengen. Dann sei:

$\langle A,B\rangle :=\{\{A\},\{A,B\}\}$

Kennzeichnungen

Definition (Kennzeichnungen)

Seien $A$ und $B$ zwei beliebige Mengen. Dann sei:

${\boldsymbol {\iota }}\phi (x):=\{y\,|\,\exists !x\,\phi (x)\Rightarrow \forall x\,(\phi (x)\Rightarrow y\in x)\}$