Benutzer:Dirk Huenniger/zahl

Einleitung

Als Kind, als ich so ca. 10 Jahre alt war fragte ich mich welche Rechenart nach mal kommt. Also es gibt zuerst plus, dann mal und dann vielleicht noch etwas. Heute kann ich die Frage mathematische genauer ausdrücken und nach einer Antwort suchen. Kurz um es geht auf den gesamten reellen Zahlen nicht. Nimmt man jedoch nur die reellen Zahlen die größer als Null sind so geht es schon. Ich werde jetzt erst die Frage mathematisch formulieren, dann werde ich zeigen das es keine Lösung auf den gesamten reellen Zahlen gibt und dann werde ich eine Lösung mit der Einschränkung auf positive reelle Zahlen angeben.

Bekanntlich bildet $\mathbb {R}$ mit den üblichen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ einen Körper. Gefragt ist nun ob $\mathbb {R}$ mit $\cdot$ und einer noch zu findenden Verknüpfung $\otimes$ ebenfalls einen Körper bildet. Wobei in diesem Körper $\cdot$ die Rolle der Addition und $\otimes$ die Rolle der Multiplikation hat.

Unmöglichkeit einer uneingeschränkten Lösung

Wir betrachten einen Körper. Dieser hat eine Multiplikation. Bezüglich dieser existiert jedoch für die Null kein Inverses Element. Da diese Multiplikation jedoch eine Addition bzgl. des zu konstruierenden Körpers sein soll, müsste sie jedoch ein solches existieren. Daher kann es einen solchen Körper nicht geben.

Ich rechne noch kurz vor, das 0 kein Inverses Element bzgl. der Multiplikation haben kann.

Sei $a$ das inverse Element von 0 bzgl. der Multiplikation. Dann gilt:

$1=0\cdot a$

Ferner:

$0=1+(-1)=0*a+(-1)=(0)*a+(-1)=(0+0)*a+(-1)=0*a+0*a+(-1)=1+1+(-1)=1$

Das darf aber laut den Körperaxiomen nicht sein.

Suche nach einer eingeschränkten Lösung

Da die reellen Zahlen einen Körper bilden kann es auf ihnen keine Lösung des Problems geben. Wir müssen wie wir oben gesehen haben zumindest die Null herausnehmen. Wenn wir dies tun verlieren wir automatisch die Addition. Wir suchen also eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ welche die Null nicht enthält und zusammen mit $\cdot$ und $\otimes$ einen Körper bildet. Zuerst zeigen wir, dass negative Zahlen nicht enthalten sein können.

Jede positive reelle Zahl lässt sich schreiben als $b\cdot b$. Dann gilt nach dem Distributivgesetz für jedes $a\in \mathbb {R}$:

$a\otimes (b\cdot b)=\left(a\otimes b\right)^{2}\geq 0$

Ist also einer der beiden Faktoren positiv so auch ihr Produkt.

Sei $e$ das neutrale Element bzg. $\otimes$ wäre $e>0$ und $a<0$

Dann

$a\otimes e>0$

Dann wäre $e$ nicht das neutrale Element. Also muss $e<0$, denn $e=0$ muss nicht bertrachtet werden da bereits gezeigt wurde das die Null nicht enthalten sein kann.

Sei nun $a>0$ und $b$ das inverse Element zu $a$ dann ist: $0<a\otimes b=e<0$

Das ist Unsinn.

Also muss die gesuchte Menge eine Teilmenge der positiven reellen Zahlen sein.

Es ist nun noch zu zeigen, dass sie die positiven Reellen Zahlen vollständig enthält.

Wir wissen bereits das $e$ positiv ist. Man überlegt sich (ziemlich) leicht

${\overline {e^{n}}}^{m}=e^{\frac {m}{n}}$

Hierbei beachte man dass e nicht immer für die eulersche Zahl steht. Dennoch ist die Funktion

$f(x)=a^{x}$

für $a\in \mathbb {R} ^{+}$ surjektiv auf $\mathbb {R} ^{+}$. Daraus folgt dass unser Körper die positiven reellen Zahlen vollständig enthält.

Beispiel für eine eingeschränkte Lösung

Nun betrachte ich die Menge der positiven reellen Zahlen $\mathbb {R} ^{+}$ und gebe eine Verknüpfung an welche die gewünschten Eigenschaften erfüllt.

Ich definiere eine Verknüpfung $\otimes$ von $\mathbb {R} ^{+}$ nach $\mathbb {R} ^{+}$.

$a\otimes b:=\mathrm {exp} (\mathrm {ln} (a)\cdot \mathrm {ln} (b))$

Dies ist wohldefiniert.

Im folgenden seinen $a,b,c\in \mathbb {R}$ beliebig.

Offenbar gilt:

$a\otimes b=b\otimes a$

Weiterhin:

$a\otimes (b\otimes c)=a\otimes \left(e^{\mathrm {ln} (b)\cdot \mathrm {ln} (c)}\right)=e^{\mathrm {ln} (a)\cdot \mathrm {ln} \left(e^{\mathrm {ln} (b)\cdot \mathrm {ln} (c)}\right)}=e^{\mathrm {ln} (a)\cdot \mathrm {ln} (b)\cdot \mathrm {ln} (c)}=(a\otimes b)\otimes c$

Mit der eulerschen Zahl $e$ ist

$e\otimes a=a$

Sei a ungleich eins. Es sei:

$d=e^{\frac {1}{\mathrm {ln} (a)}}$

Dieser Ausdruck existiert.

Es ist

$a\otimes d:=e^{\frac {\mathrm {ln} (a)}{\mathrm {ln} (a)}}=e$

Im folgenden bezeichne ich das Inverse Element von $x$ bezüglich der Verknüpfung $\otimes$ mit ${\overline {x}}$

Weiterhin ist $a\otimes (b\cdot c)=e^{\mathrm {ln} (a)\cdot \mathrm {ln} (b\cdot c)}=e^{\mathrm {ln} (a)\cdot \left(\mathrm {ln} (b)+\mathrm {ln} (c)\right)}=(a\otimes b)\cdot (a\otimes c)$

Es bleiben noch die entsprechenden Eigenschaften von $\cdot$ zu zeigen.

Für $a,b\in \mathbb {R} ^{+}$ ist offenbar $a\cdot b\in \mathbb {R} ^{+}$

Kommutativität und Assoziativität sowie Existenz des neutralen Elements vererben sich sich aus $\mathbb {R}$.

Falls $a\in \mathbb {R} ^{+}$ so auch ${\frac {1}{a}}\in \mathbb {R} ^{+}$

Somit ist $\mathbb {R} ^{+}$ mit $\cdot$ und $\otimes$ ein Körper.

Isomorphismus

Es gilt:

$\mathbb {R} ^{+}\cong \mathbb {R}$

Der Isomorphismus ist die Exponentialfunktion.

Denn

$\mathrm {exp} (0)=1$

$\mathrm {exp} (1)=e$

$\mathrm {exp} (a+b)=\mathrm {exp} (a)\cdot \mathrm {exp} (b)$

$\mathrm {exp} (a\cdot b)=\mathrm {exp} (\mathrm {ln} (\mathrm {exp} (a))\cdot \mathrm {ln} (\mathrm {exp} (b)))=\mathrm {exp} (a)\otimes \mathrm {exp} (b)$

$\mathrm {exp} (-x)={\frac {1}{\mathrm {exp} (x)}}$

$\mathrm {exp} \left({\frac {1}{x}}\right)=\mathrm {exp} \left({\frac {1}{\mathrm {ln} (\mathrm {exp} (x))}}\right)={\overline {\mathrm {exp} (x)}}$

$\mathbb {R} ^{+}$ ist nicht vollständig bezüglich des Absolutbetrages auf $\mathbb {R}$. Es bietet sich daher an einen geeigneten neuen Abstandsbegriff zu untersuchen.

Anwendungen dieses Körpers

Lineare Gleichungen

Offenbar gibt es in diesem Körper ebenfalls lineare Gleichungen. Die Lösungsverfahren für Lineare Gleichungen ins besondere die Matrizen Rechnung ist auch hier anwendbar.

Differentialrechnung

Ob und in wie weit möglichkeiten zur Differentialrechung bestehen soll hier untersucht werden. Das inverse Element von $h$ bzgl. der Verknüfpung $\otimes$ bezeichne ich mit ${\overline {h}}$ Ich definiere:

$\delta f(x):={\underset {h\rightarrow 1}{\mathrm {lim} }}\left({\frac {f(x\cdot h)}{f(x)}}\right)\otimes {\overline {h}}$

Man überlegt sich leicht das:

$\delta x=e$

und

$\delta \left(x\otimes x\right)=x^{2}$

Interessanterweise ist

$x^{2}\neq 2\otimes x$

aber

$e^{2}\otimes x=x^{2}$

Was die Sache klarer macht.