Benutzer:Chris Ke/Spielwiese Quantoren

Was sind Quantoren?

Neben den Junktoren gibt es noch eine zweite wichtige Gruppe von Symbolen, die Quantoren, mit denen sich die Aussagenlogik zur sogenannten Prädikatenlogik erweitern lässt. Während Junktoren Aussagen miteinander verknüpfen, legen Quantoren fest, für welche Objekte $x$ einer Grundmenge eine Aussageform $A(x)$ gilt. Eine Aussageform (auch Prädikat genannt) $A(x)$ ist dabei ein sprachlich sinnvoller Ausdruck, in der die Variable $x$ vorkommt und die durch Belegung dieser Variablen mit einem konkreten Wert in eine Aussage übergeht. So sind die Ausdrücke

$x$ ist eine gerade Zahl

und

$x$ ist ein Mensch

Beispiele für solche Aussageformen $A(x)$, die von der Variablen $x$ abhängen.

Ich möchte dir den Begriff der Quantoren an einem Beispiel erklären. Stelle dir dazu vor, wir untersuchen gerade die Menge der reellen Zahlen. Dies bedeutet, dass alle Variablen, die wir benutzen, nur mit reellen Zahlen belegt werden sollen. Betrachte nun folgende Aussage:

Für alle $x$ gilt, dass $x^{2}\leq 0$ ist.

In diesem Beispiel ist „für alle“ ein Quantor, der Allquantor. Er behauptet, dass die Aussageform $x^{2}\leq 0$ für alle Belegungen der Variablen $x$ wie zum Beispiel $x=-{\tfrac {1}{2}}$, $x=42$ oder $x=0$ gültig sein soll. Wir können also folgende Struktur der obigen Aussage erkennen:

$\underbrace {\text{Für alle}} _{\text{Allquantor}}\ \underbrace {x} _{\text{gebundene Variable}}{\text{ gilt, dass }}\underbrace {x^{2}\leq 0} _{{\text{Aussageform }}A(x){\text{, in Abhängigkeit von }}x}{\text{ ist.}}$

Wie auch bei Junktoren, werden für Quantoren bestimmte Symbole verwendet. Für den Allquantor ist das Symbol $\forall$ am geläufigsten. So kann die obige Aussage „Für alle $x$ gilt, dass $x^{2}\leq 0$ ist.“ auch so geschrieben werden:

$\forall x:x^{2}\leq 0$

Wir können aber auch andere Quantoren zur Bindung der Variablen $x$ in der Aussageform $x^{2}\leq 0$ verwenden. Anstatt auszudrücken, dass die Aussageform $x^{2}\leq 0$ für alle Belegungen von $x$ gültig ist, können wir auch sagen, dass diese Aussageform für mindestens eine reelle Zahl $x$ wahr ist. Dieser Quantor „es gibt mindestens ein“ wird Existenzquantor genannt und hat das Symbol $\exists$. So besitzt die Aussage „Es gibt mindestens ein $x$ mit $x^{2}\leq 0$“ folgende Struktur:

$\underbrace {\text{Es gibt mindestens ein}} _{\text{Existenzquantor}}\ \underbrace {x} _{\text{gebundene Variable}}{\text{ mit }}\underbrace {x^{2}\leq 0} _{{\text{Aussageform }}A(x){\text{, in Abhängigkeit von }}x}$

Formal aufgeschrieben wird daraus:

$\exists x:x^{2}\leq 0$

Aufgabe: Sind obige Aussagen $\forall x:x^{2}\leq 0$ und $\exists x:x^{2}\leq 0$ für reelle Zahlen wahr oder falsch?

• Die Aussage $\forall x:x^{2}\leq 0$ ist falsch, da sie für die erlaubte Belegung $x=1$ nicht stimmt. Es ist nämlich $1^{2}=1>0$.
• Die Aussage $\exists x:x^{2}\leq 0$ ist wahr, da die Zahl $0$ eine reelle Zahl ist und somit die Belegung $x=0$ erlaubt ist. Da $0^{2}\leq 0$ gilt, existiert eine reelle Zahl für welche die Aussageform korrekt ist.

Quantoren

Allquantor $\forall$

Allquantor

Symbol:	$\forall$
Bedeutung:	„für alle“ oder „für jede(s)“
Schreibweise:	$\forall x:A(x)$

Im vorherigen Abschnitt hast du den Allquantor bereits kennen gelernt. Sein Symbol ist $\forall$ (ein umgedrehtes A – „für Alle“). Die Schreibweise des Allquantors ist $\forall x:\,A(x)$. Dies bedeutet „Für alle $x$ gilt $A(x)$.“ oder „Für jedes $x$ gilt $A(x)$.“. Dabei ist $A(x)$ eine beliebige Aussageform, in der die Variable $x$ vorkommt. In der Literatur ist auch die Schreibweise $\bigwedge _{x}A(x)$ zu finden, die wir aber in diesem Buch nicht verwenden werden.

Die Menge der Objekte, auf die sich der Quantor bezieht, muss eindeutig bestimmt sein (und kann sich zum Beispiel aus dem Kontext ergeben). Wenn du eben natürliche Zahlen behandelst, so behauptet eine Aussage $\forall x:\,A(x)$, dass die Aussageform $A(x)$ für alle Belegungen von $x$ aus den natürlichen Zahlen wahr ist. Untersuchst du reelle Zahlen, so behauptet $\forall x:\,A(x)$, dass die Aussageform $A(x)$ für alle reellen Zahlen $x$ zu einer wahren Aussage wird.

Wenn du die Bezugsmenge des Allquantors explizit angeben möchtest oder musst, kannst du die deutlichere Schreibweise $\forall x\in M:\ A(x)$ verwenden. Diese bedeutet: „Für alle $x$ aus der Menge $M$ gilt die Aussage $A(x)$.“

Aufgabe: Überlege dir einige (mathematische) Aussagen, in denen du den Allquantor verwenden kannst und schreib diese auf.

Folgende Beispiele können mit dem Allquantor aufgeschrieben werden:

1. Für jedes Auto gilt: Es fährt oder es steht.
2. Für alle reellen Zahlen $x$ und alle natürlichen Zahlen $y$ ist $x+y=x\cdot y$.
3. Alle Schwäne sind weiß.

Frage: Wie lauten die obigen Aussagen in Quantorenschreibweise?

1. $\forall x:\ x{\text{ ist ein Auto}}\Rightarrow (x{\text{ fährt}}\lor x{\text{ steht}})$
2. $\forall x\in \mathbb {R} \ \forall y\in \mathbb {N} :\ x+y=y\cdot x$
3. $\forall x:\ x{\text{ ist ein Schwan}}\Rightarrow x{\text{ ist weiß}}$

Existenzquantor $\exists$

Existenzquantor

Symbol:	$\exists$
Bedeutung:	es existiert mindestens ein
Schreibweise:	$\exists x:A(x)$

Dieser Quantor wird für Aussagen folgender Form verwendet: „Es gibt mindestens ein $x$, so dass $A(x)$ gilt“. Dieser Quantor heißt Existenzquantor. Sein Symbol ist ein vertikal gespiegeltes E, welches für „es Existiert mindestens ein“ steht. Analog zum Allquantor haben Existenzaussagen die Form $\exists x:\,A(x)$. Diese Schreibweise steht für „Es gibt mindestens ein $x$, so dass $A(x)$ gilt.“ oder „Es existiert mindestens ein $x$, für welches $A(x)$ gilt“. Auch hier ist $x$ eine Variable und $A(x)$ eine Aussageform, die von $x$ abhängt. In der Literatur kannst du auch die Schreibweise $\bigvee _{x}A(x)$ finden.

Wie auch beim Allquantor muss die Bezugsmenge $M$ des Quantors klar sein (z. B. aus dem Kontext). Muss die Bezugsmenge explizit angegeben werden, so kannst du die Schreibweise $\exists x\in M:\,A(x)$ verwenden. Sie bedeutet: „Es gibt mindestens ein $x$ aus der Menge $M$, für welches die Aussage $A(x)$ wahr ist“. Es kann sein, dass es ein solches x nicht gibt.

Hinweis

In der Mathematik gibt es folgende Konvention: Eine Aussage der Form „Es gibt ein …“ ist immer als Aussage der Form „Es gibt mindestens ein …“ zu verstehen.

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen in die formelle Schreibweise mit dem Existenzquantor:

1. Es gibt eine Zahl $x$, so dass $x\cdot 0=5$ ist.
2. Es gibt schöne Männer.
3. Jeder Mensch besitzt einen Seelenverwandten.

Antwort:

1. $\exists x:\,x{\text{ ist eine Zahl }}\land x\cdot 0=5$
2. $\exists x:\,x{\text{ ist ein Mann }}\land \ x{\text{ ist schön}}$
3. $\forall x:\,\left(x{\text{ ist ein Mensch}}\Rightarrow \exists y:\,y{\text{ ist ein Seelenverwandter von }}x\right)$

Eindeutiger Existenzquantor $\exists !$

Eindeutiger Existenzquantor

Symbol:	$\exists !$ oder $\exists _{1}$
Bedeutung:	es existiert genau ein
Schreibweise:	$\exists !x:A(x)$

Den letzten Quantor, den ich dir vorstellen möchte, ist der eindeutige Existenzquantor $\exists !$. Die Schreibweise zu diesem Quantor (der auch Eindeutigkeitsquantor genannt wird) ist $\exists !x:\,A(x)$. Dies bedeutet soviel wie „Es gibt genau ein $x$, so dass die Aussageform $A(x)$ für dieses $x$ zu einer wahren Aussage ist.“. Beachte den Unterschied zwischen dem Existenzquantor und dem eindeutigen Existenzquantor: Während beim Existenzquantor die Aussageform $A(x)$ für mindestens eine Belegung von $x$ gilt, gilt beim eindeutigen Existenzquantor die Aussageform $A(x)$ für genau eine Belegung von $x$ aus der Grundmenge.

Auch bei diesem Quantor muss sich die Bezugsmenge durch den Kontext ergeben. Wenn du sie explizit angeben möchtest, kannst du die Schreibweise $\exists !x\in M:\,A(x)$ verwenden. Sie ist eine Kurzschreibweise für $\exists !x:x\in M\land A(x)$. Eine alternative und in der Literatur auch verbreitete Schreibweise für den eindeutigen Existenzquantor ist $\exists _{1}$.

Verständnisfrage: Sind folgende Aussagen wahr?

1. $\exists x\in \mathbb {R} :x^{2}=4$
2. $\exists !x\in \mathbb {R} :x^{2}=4$
3. $\exists !x\in \mathbb {N} :x^{2}=4$

Antwort:

1. Wahr, da $2\in \mathbb {R}$ und $2^{2}=4$ gilt.
2. Falsch, da $2,-2\in \mathbb {R}$ und $(-2)^{2}=2^{2}=4$ gilt. Somit gibt es kein eindeutiges Element $x\in \mathbb {R}$ mit $x^{2}=4$.
3. Wahr, da $2$ die einizige natürliche Zahl ist, welche zu $4$ quadriert. Man beachte hier, dass $-2$ keine natürliche Zahl ist.