Benutzer:Chris Ke/Spielwiese Negation

Beispiele aus der Einleitung

Betrachten wir nun das erste Beispiel aus der Einleitung:

Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $N\in \mathbb {N}$, sodass für alle $n\geq N$ die Ungleichung $|a-a(n)|<\epsilon$ erfüllt ist.

Zum Negieren der Aussage gehen wir schrittweise wie im ersten Beispiel vor:

${\begin{array}{l}{\text{Negation der Aussage: Zu jedem }}\epsilon >0{\text{ gibt es ein }}N\in \mathbb {N} {\text{, sodass für alle }}n\geq N{\text{ die Ungleichung }}|a-a(n)|<\epsilon {\text{ erfüllt ist.}}\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in formale Schreibweise}}\right.}\\[1em]\neg \left(\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\Rightarrow |a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\Leftrightarrow \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0:\neg \left(\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\Rightarrow |a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\Leftrightarrow \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\forall N\in \mathbb {N} :\neg \left(\forall n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\Rightarrow |a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\Leftrightarrow \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\forall N\in \mathbb {N} \,\exists n\in \mathbb {N} :\,\neg \left(n\geq N\Rightarrow |a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow A\land \neg B\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\forall N\in \mathbb {N} \,\exists n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\land \neg \left(|a-a(n)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ \neg \left(|a-a(n)|<\epsilon \right)\Leftrightarrow |a-a(n)|\geq \epsilon \right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\forall N\in \mathbb {N} \,\exists n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\land |a-a(n)|\geq \epsilon \\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in natürliche Sprache}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt ein }}\epsilon >0{\text{, sodass es für alle }}N\in \mathbb {N} {\text{ ein }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}n\geq N{\text{ und }}|a-a(n)|\geq \epsilon {\text{ gibt.}}\end{array}}$

Verständnisfrage: Versuche nun folgende Aussagen zu negieren.

• Für alle $R>0$ gibt es ein $n\in \mathbb {N}$, sodass $|x_{n}|\geq R$.
• Für alle $\epsilon >0$ und $x\in D$ gibt es ein $\delta >0$, sodass $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ für alle $y\in D$ mit $|x-y|<\delta$.
• Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.

Erste Aussage:

${\begin{array}{l}{\text{Negation der Aussage: Für alle }}R>0{\text{ gibt es ein }}n\in \mathbb {N} {\text{, sodass }}|x_{n}|\geq R\mathrm {.} \\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in formale Schreibweise}}\right.}\\[1em]\neg \left(\forall R>0\,\exists n\in \mathbb {N} :|x_{n}|\geq R\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\Leftrightarrow \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists R>0:\neg \left(\exists n\in \mathbb {N} :|x_{n}|\geq R\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\Leftrightarrow \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists R>0\,\forall n\in \mathbb {N} :\neg \left(|x_{n}|\geq R\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (|x_{n}|\geq R)\Leftrightarrow |x_{n}|<R\right.}\\[1em]\exists R>0\,\forall n\in \mathbb {N} \,:|x_{n}|<R\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in natürliche Sprache}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt ein }}R>0{\text{, so dass für alle }}n\in \mathbb {N} {\text{, }}|x_{n}|<R{\text{ gilt.}}\end{array}}$

Zweite Aussage:

${\begin{array}{l}{\text{Negation der Aussage: Für alle }}\epsilon >0{\text{ und }}x\in D{\text{ gibt es ein }}\delta >0{\text{, sodass }}|f(x)-f(y)|<\epsilon \ {\text{für alle }}y\in D{\text{ mit }}|x-y|<\delta \mathrm {.} \\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in formale Schreibweise}}\right.}\\[1em]\neg \left(\forall \epsilon >0\,\forall x\in D\,\exists \delta >0\,\forall y\in D:|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\Leftrightarrow \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0:\neg \left(\forall x\in D\,\exists \delta >0\,\forall y\in D:|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\Leftrightarrow \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D:\neg \left(\exists \delta >0\,\forall y\in D:|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\Leftrightarrow \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D\,\forall \delta >0:\neg \left(\forall y\in D:|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\Leftrightarrow \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D\,\forall \delta >0\,\exists y\in D:\neg \left(|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow A\land \neg B\right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D\,\forall \delta >0\,\exists y\in D:|x-y|<\delta \land \neg \left(|f(x)-f(y)|<\epsilon \right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (|f(x)-f(y)|<\epsilon )\Leftrightarrow |f(x)-f(y)|\geq \epsilon \right.}\\[1em]\exists \epsilon >0\,\exists x\in D\,\forall \delta >0\,\exists y\in D:|x-y|<\delta \land |f(x)-f(y)|\geq \epsilon \\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in natürliche Sprache}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt ein }}\epsilon >0{\text{ und ein }}x\in D{\text{, so dass für alle }}\delta >0{\text{ es ein }}y\in D{\text{ mit }}|x-y|<\delta {\text{ und }}|f(x)-f(y)|\geq \epsilon {\text{ gibt.}}\end{array}}$

Dritte Aussage:

${\begin{array}{l}{\text{Negation der Aussage: Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.}}\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in formale Schreibweise}}\right.}\\[1em]\neg \left(\forall x:x{\text{ ist ein Mensch }}\Rightarrow \exists y:y{\text{ ist ein Mensch }}\land y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\forall x:A(x))\Leftrightarrow \exists x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists x:\neg \left(x{\text{ ist ein Mensch }}\Rightarrow \exists y:y{\text{ ist ein Mensch }}\land y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow A\land \neg B\right.}\\[1em]\exists x:x{\text{ ist ein Mensch }}\land \neg \left(\exists y:y{\text{ ist ein Mensch }}\land y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (\exists x:A(x))\Leftrightarrow \forall x:\neg A(x)\right.}\\[1em]\exists x:x{\text{ ist ein Mensch }}\land \forall y:\neg \left(y{\text{ ist ein Mensch }}\land y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}\neg (A\land B)\Leftrightarrow \neg A\lor \neg B\right.}\\[1em]\exists x:x{\text{ ist ein Mensch }}\land \forall y:\neg \left(y{\text{ ist ein Mensch }}\right)\lor \neg \left(y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformungsregel: }}(\neg A\lor \neg B)\Leftrightarrow (A\Rightarrow \neg B)\right.}\\[1em]\exists x:x{\text{ ist ein Mensch }}\land \forall y:y{\text{ ist ein Mensch }}\Rightarrow \neg \left(y{\text{ liebt }}x\right)\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Übersetzung in natürliche Sprache}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt einen Menschen, so dass alle Menschen ihn nicht lieben.}}\\[1em]\qquad {\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{Umformulierung}}\right.}\\[1em]{\text{Es gibt einen Menschen, den }}{\mathit {kein\ Mensch}}{\text{ liebt.}}\end{array}}$