Benutzer:Chris Ke/Spielwiese Häufungspunkt Menge

Motivation

Wie ich dir im Artikel [link] bereits erklärt habe, muss zwischen dem Begriff des Häufungspunktes einer Menge und dem des Häufungspunktes einer Folge sorgfältig unterschieden werden. Im Folgenden will ich dir den Häufungspunkt einer Menge näher bringen. Daher sollen Häufungspunkt in diesem Artikel als Häufungspunkte einer Menge verstanden werden. Wie der Name Häufungspunkt einer Menge schon erahnen lässt, soll ein Häufungspunkt der Menge $M\subset \mathbb {R}$ ein Punkt sein, um den sich die Elemente der Menge häufen. Diese vage Formulierung möchte ich jetzt mit dir etwas konkretisieren. Wenn sich Element der Menge $M$ um den Punkt $p\in \mathbb {R}$ häufen, so sollten wir zumindest fordern, dass in jedem noch kleinen offenen Ball um den Punkt $p$ mindestens ein Element von $M$ liegt. Falls dies nicht der Fall wäre, würden wir eine kleine Zahl $\epsilon >0$ finden, sodass für jeden Punkt $m\in M$ gilt: $|p-m|\geq \epsilon$. Das würde jedoch bedeuten, dass die Punkte aus $M$ dem Häufungspunkt $p$ nicht beliebig nahe kommen könnten, was jedoch unserer Intuition eines Häufungspunktes widersprechen würde. Halten wir fest, dass wir mindestens folgendes für einen Häufungspunkt $p\in \mathbb {R}$ der Menge $M$ fordern: Für jedes $\epsilon >0$ gibt es ein $m\in M$, sodass $|p-m|<\epsilon$. Nun fragen wir uns ob diese Definition ausreichend ist. Betrachten wir dazu die Menge $M=\{1\}\cup [2,3]$. Nach unserer bisherigen Definition ist $p=1$ ein Häufungspunkt der Menge $M$. Dies wollen kurz überprüfen: Sei $\epsilon >0$. Da $p\in M$ ist, können wir direkt unser $m=p\in M$ als Element der Menge $M$ hernehmen. Nun folgt, dass $|p-p|=0<\epsilon$. Dies zeigt, dass $p=1$ ein Häufungspunkt unserer Menge ist. Dies ist aber nicht wirklich zufriedenstellend, da sie die Elemente von $M$ nicht wirklich um $p=1$ häufen. Um dieses Szenario zu vermeiden, verschärfen wir unsere Definition etwas. Wir nennen $p\in \mathbb {R}$ einen Häufungspunkt der Menge $M\subset \mathbb {R}$, falls für jedes $\epsilon >0$ ein von $p$ verschiedenes Element $m\in M$ gibt, sodass $|p-m|<\epsilon$ gilt. Mit dieser Definition ist nun $p=1$ kein Häufungspunkt der Menge $M=\{1\}\cup [2,3]$ mehr. Dies ist ersichtlich, da wir für $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}$ kein von $1$ verschiedenes Element der Menge $M$ finden, sodass $|p-m|<{\tfrac {1}{2}}$ gilt. Als Übungsaufgabe werden wirst du nachher versuchen zu zeigen, dass aus dieser Definition schon folgt, dass es für jedes $\epsilon$ unendlich viele Elemente $m\in M$ gibt, sodass $|p-m|<\epsilon$ gilt.

Definition

Nun schreibe ich die vorherigen Überlegungen sauber auf.

Definition (Häufungspunkt einer Menge)

Eine Zahl $p\in \mathbb {R}$ ist Häufungspunkt einer Menge $M$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ ein Element $m\in M$ gibt mit $m\neq p$ und $|m-p|<\epsilon$.

Eigenschaften von Häufungspunkten

In diesem Abschnitt möchte ich mit dir zusammen rechtfertigen, dass ein Häufungspunkt einer Menge wirklich seinen Namen verdient hat und sich die Elemente der Menge um ihn häufen. Wir werden folgenden Satz beweisen.

Satz (Die Elemente einer Menge häufen sich um die Häufungspunkte der Menge)

Sei $p\in \mathbb {R}$ ein Häufungspunkt der Menge $M\subset \mathbb {R}$. Für jedes $\epsilon >0$ gibt es eine Menge $N\subset M$ mit unendlich(!) vielen Elemente, sodass für alle $m\in N$ gilt $|m-p|<\epsilon$.

Beweis (Die Elemente einer Menge häufen sich um die Häufungspunkte der Menge)

Wir beweisen die Aussage per Widerspruch. Die Kontraposition lautet: Es gibt ein $\epsilon >0$, sodass für jede unendliche Menge $N\subset M$ gilt: Es existiert ein $m\in N$ mit $|p-m|\geq \epsilon$. Diese Aussage kann nun auch in folgende Aussage umgeformt werden: Es existiert ein $\epsilon >0$, sodass die Menge $N_{\epsilon }:=\{m\in M:|m-p|<\epsilon ,m\neq p\}$ endlich ist. Nun wählen wir ${\tilde {\epsilon }}:=\min\{|p-m|:m\in N_{\epsilon }\}.$ Da die Menge $N_{\epsilon }$ endlich ist und $p\notin N_{\epsilon },$ gilt ${\tilde {\epsilon }}>0.$ Daraus können wir nun folgern, dass für alle $m\in M$ mit $m\neq p$ gilt $|p-m|\geq {\tilde {\epsilon }}.$ Dies jedoch widerspricht der Tatsache, dass $p$ ein Häufungspunkt von $M$ ist. ↯

Nun werde ich dir auch noch einen Zusammenhang von Folgen und Häufungspunkten näher bringen.

Satz (Jeder Häufungspunkt einer Menge ist der Grenzwert einer Folge der Menge)

Sei $p\in \mathbb {R}$ ein Häufungspunkt der Menge $M$. Dann gibt es eine Folge $(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $M$ mit $\lim _{n\to \infty }m_{n}=p$.

Beweis (Jeder Häufungspunkt einer Menge ist der Grenzwert einer Folge der Menge)

Für festes $n\in \mathbb {N}$ setzen wir $\epsilon _{n}:={\tfrac {1}{n}}.$ Da $p$ ein Häufungspunkt ist, gibt es nun ein Element $m\in M$ mit $|p-m|<\epsilon _{n}={\tfrac {1}{n}}.$ Da dieses Element von $\epsilon _{n}$ und damit im Speziellen von $n$ abhängt, nenne ich es $m_{n}.$ Nun verfahren wir so für jedes $n\in \mathbb {N}$. Wir erhalten eine Folge $(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }.$ Nun zeige ich, dass diese Folge in der Tat gegen den Häufungspunkt $p$ strebt. Rufe dazu nochmals die Definition des Grenzwertes einer Folge in Erinnerung. Sei $\epsilon >0$ beliebig. Wähle nun ein $N\in \mathbb {N}$ mit $N>{\tfrac {1}{\epsilon }}.$ Sei nun $n\geq N$, also auch ${\tfrac {1}{n}}\leq {\tfrac {1}{N}}<\epsilon .$ Nun folgt nach Konstruktion unserer Folge $|m_{n}-p|<\epsilon _{n}={\tfrac {1}{n}}\leq {\tfrac {1}{N}}<\epsilon .$ Nach Definition des Grenzwertes zeigt dies, dass der Grenzwert der Folge $(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ der Häufungspunkt $p$ ist.

Warnung

Wir haben nun bewiesen, dass jeder Häufungspunkt $p$ einer Menge $M$ ein Grenzwert einer Folge aus der Menge ist. Nun erinnerst du dich bestimmt daran, dass dann in jeder Umgebung von $p$ fast alle Folgenglieder liegen. Damit liegen in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder. Da alle Folgenglieder Element aus $M$ sind, könnte man meinen, dass daraus schon der erste Satz folgt. Dies ist jedoch nicht so, da bei Folgen die Glieder gleich sein können. Betrachten wir beispielsweise erneut die Menge $M=\{1\}\cup [2,3]$. Für die Zahl $p=1$ finden wir einen Folge $(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus $M$ mit $\lim _{n\to \infty }m_{n}=p$. Wir können dazu die konstante Folgen $m_{n}=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ nehmen. Nun sehen wir, dass in jeder Umgebung von $p=1$ fast alle (hier sogar alle) Folgenglieder enthalten sind. Dennoch gibt es in der Umbegung $U=\{x\in \mathbb {R} :|x-p|<{\tfrac {1}{2}}\}$ nur ein Element von $M,$ nämlich das Element $1.$

Halten wir also fest, dass es für jeden Häufungspunkt eine Folge aus der Menge gibt, die gegen den Häufungspunkt konvergiert. Es gilt jedoch nicht, dass jede konvergente Folge mit Folgenglieder aus der Menge gegen einen Häufungspunkt konvergiert.

Berührpunkt

Wie ich dir gerade gezeigt habe, gibt es Punkte, die keine Häufungspunkte sind, jedoch der Grenzwert einer Folge aus der Menge. Diese Punkt sind also fast Häufungspunkte. Sie liegen beliebig nahe an der Menge dran, jedoch häufen sich die Elemente der Menge nicht um sie. Um diese Punkte auch in einer Definition zu packen, führen wir das Konzept des Berührpunktes ein, was eine Abschwächung einer Häufungspunktes ist.

Definition (Berührpunkt)

Sei $M\subset \mathbb {R}$ eine Menge. Eine Zahl $p\in \mathbb {R}$ nennt man Berührpunkt der Menge $M$, falls es eine Folge aus $M$ gibt, die gegen $p$ konvergiert.

Eine alternative Definition des Berührpunktes wäre

Beispiele

endliche Mengen haben keine HP