Unter einer Lucas-Folge versteht man Folgen der Form
beziehungsweise
.
Dabei wir die Folge
aus den Gliedern
gebildet, auch kurz
geschrieben.
Das gleiche gilt auch für
.
Was jetzt fehlt ist, was die Glieder
und
sind.
Das Glied
und das Glied
.
Wo kommen nun auf einmal a und b her?
Es gibt quadratische Gleichungen der Form
. Zu dieser Gleichung gibt es zwei Lösungen
und
, die sich über die pq-Formel berechnen lassen:
und ![{\displaystyle b=x_{2}={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4q}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dc89480b92aff1ae600ee5fc21a2974cef0ba4)
P |
Q |
a |
b |
U(P,Q) |
V(P,Q)
|
1 |
-1 |
![{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2102ba6ed802cb9a98dc1a0fc1ac99b1a03b4047) |
![{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dca93af8441b7e02c212f81854cb8a5861e8dd) |
Fibonacci-Folge |
Lucas-Folge
|
2 |
-1 |
![{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6647fc0b70302f56dbc87eaf718dc3832ba161) |
![{\displaystyle 1-{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62eb017b57fd1c627ed65df6363a64cf60e735d0) |
Pell-Folge |
Companion Pell-Folge
|
1 |
-2 |
![{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {9}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e2ff0ddc41b94c2a0b850653458cf87d6706c6) |
![{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {9}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1250a7fa2eac2792274ad0abd1858d8037236988) |
Jacobsthal-Folge |
|
A+1 |
A |
A |
1 |
An-1 Folge |
An+1 Folge
|
3 |
-10 |
5 |
-2 |
{{OEIS|A015528}} |
|
4 |
-5 |
5 |
-1 |
{{OEIS|A015531}} |
|
5 |
-6 |
6 |
-1 |
{{OEIS|A015540}} |
|
8 |
-9 |
9 |
-1 |
{{OEIS|A015577}} |
|
Q=-1
|
P |
a |
b |
U(P,Q) |
V(P,Q)
|
1 |
![{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2102ba6ed802cb9a98dc1a0fc1ac99b1a03b4047) |
![{\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dca93af8441b7e02c212f81854cb8a5861e8dd) |
Fibonacci-Folge |
Lucas-Folge
|
2 |
![{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6647fc0b70302f56dbc87eaf718dc3832ba161) |
![{\displaystyle 1-{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62eb017b57fd1c627ed65df6363a64cf60e735d0) |
Pell-Folge |
Companion Pell-Folge
|
3 |
![{\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378749d8b47cda3d20657cc3b1792f656ac015d3) |
![{\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f2fa4ea59d8f20d745eda041dcdc1d582a7c3b) |
A006190 |
A006497
|
4 |
![{\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913d3eaa6d2ca87734f82f97e3f1792c8e3f2851) |
![{\displaystyle 2-{\sqrt {5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618e3f8b223dd4c405902cae944d528aa4c929eb) |
|
5 |
![{\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa092a5feda7273f5f827a27d539abc5a090c87) |
![{\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {29}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5faab8a03b2765437cafeec5828840db2c092cc7) |
|