Benutzer:Arbol01/Historie: Primzahl (Beweise) 14.12.2005

Bei den folgenden Beweisen zu Primzahlen geht es darum, zu zeigen, dass es keine größte Primzahl gibt. Daraus folgt dann, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Der bekannteste Beweis ist der Satz von Euklid. Neben diesem sind mit der Zeit auch noch andere Beweise aufgestellt worden.

Stieltjes' Beweis (1890)

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Angenommen   seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gilt für die Zahl  , dass sie sich in der Form   zerlegen lässt, wobei für beide Zahlen   und   angenommen werden kann, dass sie größer 1 sind und dass jede Primzahl   entweder   oder   teilt, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist   durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber   ist, ist   eine weitere, größere Primzahl oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar.

Beispiel

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Angenommen es gäbe nur die 4 Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Dann wäre N = 2 * 3 * 5 * 7 = 210. N ließe sich beispielsweise in die Faktoren 15 (= 3*5) und 14 (= 2*7) zerlegen. 15 + 14 = 29. 29 lässt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also ist 29 eine Primzahl oder durch eine Primzahl größer 7 teilbar.

Schorns Beweis

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Vorbemerkung zu "paarweise teilerfremd"

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Dieser (Schorns) und der folgende (Goldbachs) Beweis erfordern eine Erklärung. Zwei Zahlen a1 und a2 (nicht unbedingt Primzahlen) ohne gemeinsame Primfaktoren, also mit ggT (größter gemeinsame Teiler) 1, heißen teilerfremd. Eine Menge von Zahlen heißt paarweise teilerfremd, wenn je zwei beliebige Zahlen aus dieser Menge teilerfremd sind.

Angenommen, es gäbe genau   verschiedene Primzahlen. Dann setze  . Die   natürlichen Zahlen   für   sind paarweise teilerfremd. Wenn eine Primzahl   die natürliche Zahl   teilt, dann sind die Primzahlen   unterschiedliche Primzahlen, was im Widerspruch zu unserer anfänglichen Annahme steht, dass es genau   verschiedene Primzahlen gibt.

Beispiel

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Angenommen, man geht davon aus, dass es genau 3 Primzahlen gibt. Dann ist  . Mit dieser Zahl kann man die folgenden 4 Zahlen konstruieren:

 .

Alle vier Zahlen sind also paarweise teilerfremd. Das bedeutet auch, dass es mindestens 4 verschiedene Primzahlen gibt, was der Annahme widerspricht, dass es nur genau 3 Primzahlen gibt.

Der große Vorteil an Schorns Beweis gegenüber den Beweisen von Euklid und Stieltjes ist, dass man bei ihm nur von einer bestimmten Anzahl von Primzahlen, nicht aber von konkreten Primzahlen ausgeht.

Goldbachs Beweis (1730)

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Wenn man eine unendliche Folge natürlicher Zahlen   finden kann, die paarweise teilerfremd sind, dann existiert eine Folge von Primzahlen  , für die gilt, dass die Primzahlen   die natürliche Zahlen   teilen. Diese Primzahlen sind dann alle verschieden. Wenn man also eine solche Folge findet, dann gibt es auch eine unendliche Anzahl von Primzahlen.

Es gibt eine solche Folge natürlicher Zahlen, die paarweise teilerfremd sind: die Folge der Fermat-Zahlen   für  . Es gilt nämlich  . Dieser Satz lässt sich per vollständiger Induktion zeigen. Daraus folgt für  , dass   die Zahl   dividiert. Angenommen eine Primzahl   würde die beiden Fermat-Zahlen   und   dividieren, dann würde sie auch   und   dividieren. Daraus würde   folgen. Da aber jedes   ungerade und damit nicht durch 2 teilbar ist, ist jedes Glied dieser Folge teilerfremd zu allen anderen.

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