Benutzer:Arbol01/Ableitung wx

Dies ist eine Arbeitsversion!

Funktion: $y={\sqrt {x}}$

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Methode1:
$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}$

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x_{0}}}}{x-x_{0}}}$

Zähler und Nenner werden mit $({\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}})$ erweitert:

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {({\sqrt {x}}-{\sqrt {x_{0}}})({\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}})}{(x-x_{0})({\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}})}}$

$({\sqrt {x}}-{\sqrt {x_{0}}})({\sqrt {x}}+{x_{0}})=x-x_{0}$

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {x-x_{0}}{(x-x_{0})({\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}^{2}}})}}$

$x-x_{0}$ wird herausgekürzt

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}$

$y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {x_{0}}}}}$

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Methode2:
${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}$



${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}$

Mit $({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})$ wird erweitert

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$

$({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})=x+h-x$

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$

Die beiden x neutralisieren sich

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$

Das h wird weggekürzt

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}$

${\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

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Methode2b:
$y={\sqrt {x}}$

Mit $\delta y$ wird erweitert

$y+\delta y={\sqrt {x+\delta x}}$

y wird auf beiden Seiten abgezogen

$\delta y={\sqrt {x+\delta x}}-{\sqrt {x}}$

Mit ${\sqrt {x+\delta x}}+{\sqrt {x}}$ wird auf beiden Seiten erweitert

$\delta y*({\sqrt {x+\delta x}}+{\sqrt {x}})=({\sqrt {x+\delta x}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+\delta x}}+{\sqrt {x}})$

$({\sqrt {x+\delta x}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+\delta x}}+{\sqrt {x}})=x+\delta x-x$

$\delta y*({\sqrt {x+\delta x}}+{\sqrt {x}})=x+\delta x-x$

$\delta y*({\sqrt {x+\delta x}}+{\sqrt {x}})=\delta x$

${\frac {\delta y}{\delta x}}={\frac {1}{{\sqrt {x+\delta x}}+{\sqrt {x}}}}$

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\delta x\rightarrow 0}{\frac {\delta y}{\delta x}}={\frac {1}{{\sqrt {x+\delta x}}+{\sqrt {x}}}}$

$y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x}}}}$

$y'={\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

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Methode3:

$y={\sqrt {x}}$

$y^{2}=x\$

$y'2x=1\$

$y'={\frac {1}{2y}}$

$y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$