Benutzer:Arbol01/Ableitung ex

Dies ist eine Arbeitsversion!

Funktion: $y=e^{x}$

Methode1:
$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}$



$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {e^{x}-e^{x_{0}}}{x-x_{0}}}$

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Methode2:
$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}}=\lim _{\delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x)-f(x-\delta x)}{\delta x}}$



${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}={\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{x}*e^{h}-e^{x}}{h}}$

Mit $e^{x}$ wird ausgeklammert, und dann vorgezogen

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{x}(e^{h}-1)}{h}}={\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}e^{x}*{\frac {e^{h}-1}{h}}={\frac {d}{dx}}f(x)=e^{x}*\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}$

Das Problem reduziert sich auf eine Kleinigkeit: Man muß zeigen, das der unten stehende Ausdruck

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}$

gegen 1 konvergiert

Methode3: $y=e^{x}$

$ln(y)=ln(e^{x})$

$ln(y)=x$

$y'{\frac {1}{y}}=1$

Beide Seiten werden mit y multipliziert
$y'=y$

y wird mit e^{x substituiert}
$y'=e^{x}$