Benutzer:Arbol01/0,9p

Stufe 0: Definieren von 0,9p und zeigen per Induktion, das summe(i=1;n;9/(10^i)) = 1 - 1/10^i)
Die Summe $\sum _{i=1}^{n}{\frac {9}{10^{i}}}$ erzeugt die Folge: $a_{1}=0.9,\ a_{2}=0.99,\ a_{3}=0.999,\ a_{4}=0.9999,\ \dots$ Wenn man jedes dieser Glieder von 1 subtrahiert, dann bekommt man folgende Folge: $b_{1}=1-0.9=0.1,\ b_{2}=1-0.99=0.01,\ b_{3}=1-0.999=0.001,\ b_{4}=1-0.9999=0.0001$
Das läßt vermuten, das $\sum _{i=1}^{n}{\frac {9}{10^{i}}}=1-{\frac {1}{10^{n}}}$ ist. Mit einer vollständigen Induktion läßt sich feststellen, ob diese Vermutung zutrifft:

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {9}{10^{i}}}+{\frac {9}{10^{n+1}}}=\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {9}{10^{i}}}$

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {9}{10^{i}}}+{\frac {9}{10^{n+1}}}=1-{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {9}{10^{n+1}}}$

$\sum ^{n+1}{i=1}{\frac {9}{10^{i}}}=1-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

$1-{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {9}{10^{n+1}}}=1-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

$1-{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {9}{10^{n+1}}}=1-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

$-{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {9}{10^{n+1}}}=-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

${\frac {9}{10^{n+1}}}-{\frac {1}{10^{n}}}=-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

${\frac {9}{10^{n+1}}}-{\frac {10}{10^{n+1}}}=-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

${\frac {9-10}{10^{n+1}}}=-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

${\frac {-1}{10^{n+1}}}=-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

$-{\frac {1}{10^{n+1}}}=-{\frac {1}{10^{n+1}}}$

Damit ist gezeigt, das $\sum _{i=1}^{n}{\frac {9}{10^{i}}}=1-{\frac {1}{10^{n}}}$ ist. Soweit die Vorarbeit zu folgender Definition:
$0,9p=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {9}{10^{i}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{10^{n}}}$

Wenigstens die letztere Formel wird später noch gebraucht

Stufe 1: 0,9p = 1 auf die schnelle Art

0.9p = n	| multiplizieren mit 10
10 * 0.9p = 10 * n
9.9p = 10n	| 0.9p = n subtrahieren
9.9p - 0.9p = 10n - n
9 = 9n	| division durch 9
1 = n	| n = 0.9p
1 = 0.9p

Stufe 2: für Skeptiker durch Induktion zeigen, daß 0,9p * 10 = 9,9p
0,9p * 10 = 9,9p
$10*0,9p=10*lim_{n\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{10^{n}}}$

$9,9p=\lim _{n\rightarrow \infty }10-{\frac {1}{10^{n}}}$

Stufe 3: für Skeptiker durch Induktion zeigen, daß 9,9p - 0,9p = 9p