Benutzer:Antonsusi/Pages

Astronomische Koordinatensysteme

Wie dargelegt wurde, ist eine Orientierung mittels rechtwinkliger kartesischer Raumkoordinaten oder mittels Kugelkoordinaten möglich. Die daraus resultierenden Orientierungssysteme der Astronomie sollen nun kurz vorgestellt werden.

Räumliche kartesische Koordinaten werden in der Praxis nur für Bewegungen im Sonnensystem gebraucht. Dabei handelt es sich um das System der kartesischen Ekliptikkoordinaten [X, Y, Z]. Der Ursprung liegt entweder in der Sonne bzw. genauer im Schwerpunkt des Sonnensystems (der praktisch mit dem Sonnenzentrum zusammenfällt: heliozentrische Koordinaten) oder im Erdmittelpunkt (geozentrische Koordinaten). Die X-Achse zeigt in Richtung auf den Frühlingspunkt ♈, die Y-Achse im rechten Winkel dazu in Richtung des Sommerpunktes, und die Z-Achse zum nördlichen Ekliptikpol.

Kommen stattdessen ekliptikale Kugelkoordinaten zum Einsatz, so handelt es sich den heliozentrischen Abstand r des Objektes vom Sonnenmittelpunkt bzw. um den geozentrischen Abstand Δ vom Erdmittelpunkt oder vom Schwerpunkt des Systems Erde – Mond; um die vom Frühlingspunkt aus gemessene ekliptikale Länge l (heliozentrisch) bzw. λ (geozentrisch); um die von der Ekliptik aus gemessene ekliptikale Breite b (heliozentrisch) bzw. β (geozentrisch) – positiv in Richtung des nördlichen Ekliptikpols, negativ in Richtung des südlichen Ekliptikpols.

Das bewegliche oder rotierende Äquatorsystem ist wie folgt definiert: der Ursprung ruht im Erdmittelpunkt. Die erste Achse zeigt in Richtung auf den Frühlingspunkt ♈; die zweite Achse im rechten Winkel dazu in Richtung eines Punktes im Sternbild Orion, östlich der Gürtelsterne; die dritte Achse zum Himmelsnordpol. Für Objekte im Sonnensystem ist der Abstand die geozentrische Entfernung Δ vom Ursprung, für alle übrigen Objekte interessiert in der Regel nur die Richtung. Diese wird durch die beiden Winkel α (bzw. RA) und δ bestimmt: α ist die Rektaszension, wird auf dem Himmelsäquator vom Frühlingspunkt aus gemessen als Winkel zwischen dem Grosskreis durch den Frühlingspunkt und den Himmelsnordpol und dem Grosskreis durch das Objekt und den Himmelsnordpol. Als Besonderheit wird die Rektaszension in der Regel nicht in Grad, sondern in Stunden angegeben. Dabei gilt: 360° ≙ 24^h, 15° ≙ 1^h, 1° ≙ 4^m, 15' ≙ 1^m, 1' ≙ 4^s, 15" ≙ 1^s und 1" ≙ ¹/15^s. δ ist die Deklination und wird vom Himmelsäquator aus gemessen, positiv in Richtung zum Himmelsnordpol, negativ in Richtung zum Himmelssüdpol.

Das feste Äquatorsystem ist auf den Beobachter bezogen: der Ursprung liegt im Erdmittelpunkt (selten) oder im Ort, in dem sich der Beobachter befindet (Topozentrum; die Regel). Wenn der Abstand interessiert, dann handelt es sich um die topozentrische Entfernung Δ'. Im folgenden beschränken wir uns auf die Beschreibung der Situation auf der Nordhalbkugel der Erde. Die erste Achse zeigt zu jenem Punkt am Himmelsgewölbe, wo der Himmelsäquator den Meridian des Beobachters schneidet, also in südlicher Richtung. Die zweite Achse zeigt im rechten Winkel dazu auf den Westpunkt am Horizont, und die dritte auf den Himmelsnordpol. Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Koordinatensystemen handelt es sich hier um ein linkshändiges System. Die eine Richtungskoordinate ist wie im rotierenden Äquatorsystem die Deklination δ, die vom Himmelsäquator aus gemessen wird. Die zweite Richtungskoordinate ist der Stundenwinkel τ. Es ist der Winkel zwischen dem Meridian, also dem Grosskreis vom Südpunkt über den Zenit und den Himmelsnordpol zum Nordpunkt, und jenem Grosskreis, der durch den Himmelsnordpol und das Objekt geht, gemessen auf dem Himmelsäquator vom Meridian aus westwärts. Wie die Rektaszension wird der Stundenwinkel üblicherweise in Zeiteinheiten angegeben. Der Stundenwinkel spiegelt direkt die scheinbare tägliche Bewegung der Himmelskörper als Folge der täglichen Rotation wieder. Hat ein Körper den Stundenwinkel τ = 0^h, so sagt man, er kulminiere im oberen Kulminationspunkt auf dem Meridian. Ist der Körper die wahre (bzw. mittlere) Sonne, so entspricht dies dem wahren (bzw. mittleren) Mittag. Ist τ = 12^h, so sagt man, der Körper kulminiere im unteren Kulminationspunkt auf dem Meridian. Im Laufe eines Tages wächst der Stundenwinkel abgesehen von der Eigenbewegung des Körpers um 24^h.

Im Horizontsystem liegt der Ursprung beim Beobachter. Die erste Achse zeigt zum Südpunkt am Horizont, die zweite Achse im rechten Winkel dazu zum Westpunkt am Horizont, und die dritte Achse senkrecht nach oben zum Zenit. Auch das Horizontsystem ist ein linkshändiges System. Normalerweise werden nur die beiden Richtungskoordinaten betrachtet: die Höhe h wird vom Horizont aus gemessen, positiv in Richtung des Zenits, negativ in Richtung des Nadir. Wegen der praktischen Schwierigkeit, die Lage des (mathematischen) Horizonts genau bestimmen zu können, gibt man stattdessen oft den vom Zenit aus gemessenen Winkel z = 90° – h an, die sog. Zenitdistanz. z = 90° definiert den mathematischen Horizont, bei z > 90° befindet sich ein Objekt unterhalb des mathematischen Horizonts. Als zweite Richtungskoordinate wird das Azimut A angegeben. Es handelt sich hierbei um den Winkel zwischen dem Meridian und dem Grosskreis durch das Objekt und den Zenit, gemessen auf dem Horizont von Süd über West, Nord nach Ost (In der Navigation und in der Meteorologie wird das Azimut oft von Norden aus gemessen). Die obere Kulmination erfolgt im allgemeinen bei A = 0°, die untere bei A = 180°. Sterne, die zwischen dem Zenit und dem Himmelsnordpol durch die obere Konjunktion gehen, haben sowohl für die obere wie für die untere Kulmination A = 180°. Sterne, die zwischen dem Nadir und dem Himmelssüdpol durch die untere Konjunktion gehen, haben sowohl für die obere wie für die untere wie für die obere Konjunktion A = 0°.

Gelegentlich wird auch das galaktische Koordinatensystem benutzt. Es wurde erst 1958 von der IAU festgelegt. Sein Zentrum liegt im Sonnenmittelpunkt. Die erste Achse zeigt in Richtung zum Zentrum der Milchstrasse mit den äquatorealen Koordinaten α = 17^h 42.4^m, δ = –28.92°. Dieser Punkt liegt im Sternbild Schütze nahe der Radioquelle Sagittarius A. Die zweite Achse zeigt im rechten Winkel dazu in die Gegend zum Sternbild Schwan; die Drehung erfolgt entlang dem galaktischen Äquator. Die dritte Achse zeigt zum galaktischen Nordpol, mit den Koordinaten α = 12^h 49^m, δ = +27.40° im Sternbild Haar der Berenike (Coma Berenices) gelegen. Die angegebenen Koordinaten beziehen sich auf die Epoche B1950.0. Die beiden Richtungskoordinaten des galaktischen Koordinatensystems sind die galaktische Länge l (0° ≤ l < 360°), gemessen von der ersten Achse aus entlang des galaktischen Äquators, und die galaktische Breite b vom galaktischen Äquator aus positiv in Richtung zum galaktischen Nordpol, negativ zum galaktischen Südpol (–90° ≤ b ≤ +90°). Im Internet kann ein Programm heruntergeladen werden, das für galaktische Objekte direkt die galaktischen Koordinaten und damit die Lage in der Milchstrasse direkt visualisiert. Das englischsprachige Tool kann hier gefunden werden.

Horizontsystem und ruhendes Äquatorsystem werden für die Beobachtung benutzt, da sie dem Beobachter unmittelbar eine Information über den Ort und damit die Sichtbarkeit eines Objektes an seiner Himmelskugel liefern. Für ein parallaktisch montiertes Fernrohr benötigt man den Stundenwinkel und die Deklination. Für die Sichtbarkeit oder ein azimutal montiertes Fernrohr (Typ Dobson!) werden Azimut und Höhe bzw. Zenitdistanz benötigt. Insbesondere muss für die Sichtbarkeit h > 0° bzw. z < 90° sein. Das Ekliptiksystem wird in erster Linie bei himmelsmechanischen Problemen im Sonnensystem eingesetzt. Bewegliches Äquatorsystem und galaktisches System werden für Kataloge, Listen und Karten benutzt.

Übungen

• Wandeln Sie die folgenden Rektaszensionswerte von Stunden in Grad bzw. in rad (Bogenmass) um: a) 18^h; b) 3^h; c) 5^h 30^m; d) 12^h 45^m; e) 7^h 20^m; f) 21^h 12^m 27^s; g) 9^h 44^m 12.56^s.
• Wandeln Sie die folgenden Winkelwerte in Rektaszension mit Zeiteinheiten um: a) 270°; b) 60°; c) 90° 45'; d) 20° 22'; e) 321° 11' 55"; f) 9° 49' 22.57".

Sphärische Trigonometrie

Hier sollen die wichtigsten Beziehungen der sphärischen Trigonometrie, von denen wir im folgenden Gebrauch machen wollen, zusammengestellt werden. An einem Beispiel soll exemplarisch gezeigt werden, wie sich Formeln der sphärischen Trigonometrie herleiten lassen. Wer tiefere Einsichten in das Thema wünscht, muss sich ein spezialisiertes Werk anschauen. Der Klassiker für Astronomen ist immer noch W. M. Smarts Textbook on Spherical Astronomy.

Ein Grosskreis auf einer Kugel ist ein beliebiger Kreis, dessen Mittelpunkt mit dem Kugelmittelpunkt zusammenfällt. Sind auf der Kugeloberfläche zwei beliebige Punkte P und S gegeben, so gibt es einen eindeutig bestimmten Grosskreis durch diese Punkte. Die beiden Punkte P und S teilen die Kreislinie in zwei Stücke, die in der Regel ungleich lange sind. Das kürzere Stück stellt die kürzeste Verbindung zwischen P und S dar. Grosskreise sind auf der Kugeloberfläche das, was Geraden in der Ebene: die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Ein grosser Unterschied besteht allerdings zwischen Geraden und Grosskreisen. Wenn in der Ebene zwei Punkte P und S eine Gerade g definieren, und ein Punkt T ausserhalb dieser Geraden liegt, so gibt es eine zweite Gerade h durch T, die die erste Gerade g nicht schneidet, nämlich die Parallele h zu g durch T. Auf der Kugeloberfläche ist die Situation anders. Wenn durch die Punkte P und S ein Grosskreis g definiert wird, und T ein Punkt auf der Kugeloberfläche, aber nicht auf dem Grosskreis g ist, dann schneidet jeder Grosskreis h durch T den Grosskreis g in zwei Punkten.

Beispiele

Ekliptik, Himmelsäquator und Horizont sind verschiedene Grosskreise auf der Himmelskugel. Sie haben paarweise je zwei Schnittpunkte: Ekliptik und Himmelsäquator schneiden sich im Frühlingspunkt  und im Herbstpunkt  ; Himmelsäquator und Horizont schneiden sich im Ost- und im Westpunkt; Ekliptik und Horizont schneiden sich in zwei Punkten, die keine eigenen Namen haben.

Jedes Bogenstück ST kann wahlweise durch seine Länge A oder durch den Winkel a beschrieben werden, den die Vektoren ${\overrightarrow {MS}}$ und ${\overrightarrow {MT}}$ vom Kugelmittelpunkt M zu den Punkten S und T bilden. Wenn R der Kugelradius ist und a im Bogenmass gemessen wird, dann besteht zwischen A und a der Zusammenhang:

$a\quad =\quad {\frac {A}{R}}\;{\text{rad}}$

Wenn wie im Falle der Himmelskugel der Radius belanglos ist, dann ist die Angabe des Winkels a die Möglichkeit, das Bogenstück zu charakterisieren.

Kugeldreieck; Details findet man im Text

Sind auf einer Kugel drei Punkte P, S und T gegeben, so lassen sich immer zwei Punkte mit einem Stück eines Grosskreises verbinden: PS, PT und ST. Die drei Punkte definieren damit ein sphärisches Dreieck Nach den Feststellungen des vorangehenden Absatzes lassen sich die drei Seiten $A\;=\;{\overline {ST}},\;B\;=\;{\overline {PT}},\;C=\;{\overline {PS}}$ durch drei Winkel a, b, c ausdrücken. Dazu kommen die drei Innenwinkel des sphärischen Dreiecks $\alpha \;=\;\sphericalangle (b,c),\;\beta \;=\;\sphericalangle (a,c),\;\gamma \;=\;\sphericalangle (a,b)$. Wie in der Ebene wird auch auf der Kugeloberfläche ein Dreieck durch sechs Stücke (drei Seiten und drei Winkel) beschrieben, wobei allerdings nur drei unabhängig sind und die anderen drei sich daraus berechnen lassen. Beim ebenen Dreieck ergibt die Summe der Innenwinkel α + β + γ = 180° = π rad. Beim sphärischen Dreieck ist die Innenwinkelsumme aber immer grösser als 180° bzw. π, jedoch kleiner als 540° bzw. 3π. Man bezeichnet $\epsilon \;=\;\alpha +\beta +\gamma -180^{\circ }$ als den (sphärischen) Exzess. Ferner bezeichnet man wie in der Ebene s = a + b + c als den Umfang des sphärischen Dreiecks.

Auf einer Kugel seien die drei Punkte P, S, T gegeben, die ein sphärisches Dreieck definieren. Es ist dann: $a\;=\;\sphericalangle (S,M,T),\;b\;=\;\sphericalangle (P,M,T),\;c\;=\;\sphericalangle (P,M,S)$, wo M den Kugelmittelpunkt bezeichnet. Legen wir im Punkt P die Tangentialebene an die Kugel und verlängern MS, bis in U die Tangentialebene geschnitten wird. PU ist dann Tangente an den Grosskreis durch P und S. Analog findet man den Punkt V in der Tangentialebene mit PV als Tangente an den Grosskreis durch P und T. Nun ist der Innenwinkel α im sphärischen Dreieck PST (in der Ecke P, der Seite a gegenüber) per Definition der Winkel zwischen den Tangenten an die Dreieckseiten (dh. Grosskreisbogen) b und c im Punkt P. Es ist $\sphericalangle (U,P,M)\;=\;90^{\circ }$, denn bei jedem Kreis bilden Tangente und Radius zum Berührungspunkt einen rechten Winkel. Andererseits ist wie oben schon festgestellt $\sphericalangle (P,M,S)\;=\;c$. Das Dreieck MPU ist ein gewöhnliches, ebenes Dreieck. Dort gilt mit der ebenen Trigonometrie (wir erinnern uns der selten gebrauchten Funktion Secans, die ganz einfach den Kehrwert des Cosinus darstellt):

$PU\;=\;MP\cdot \tan c\;{\text{;}}\quad MU\;=\;MP\cdot \sec c\;=\;{\frac {MP}{\cos c}}$

$PV\;=\;MP\cdot \tan b\;{\text{;}}\quad MV\;=\;MP\cdot \sec b\;=\;{\frac {MP}{\cos b}}$

Im ebenen Dreieck PUV gilt der Cosinussatz der ebenen Trigonometrie:

${\begin{aligned}UV^{2}\;&=\;PU^{2}+PV^{2}-2PU\cdot PV\cdot \cos \alpha \;\\&=\;MP^{2}\left(\tan ^{2}b+\tan ^{2}c-2\tan b\cdot \tan c\cdot \cos \alpha \right)\end{aligned}}$

Mit dem ebenen Dreieck MUV finden wir unter nochmaliger Anwendung des Cosinussatzes:

${\begin{aligned}UV^{2}\;&=\;MU^{2}+MV^{2}-2MU\cdot MV\cdot \cos a\;\\&=\;MP^{2}\left(\sec ^{2}b+\sec ^{2}c-2\sec b\cdot \sec c\cdot \cos a\right)\end{aligned}}$

Setzen wir die rechten Seiten der beiden Gleichungen einander gleich und benutzen die aus der ebenen Trigonometrie bekannte Identität $\sec ^{2}b\;=\;1+\tan ^{2}b\;$(analog für c), dann erhalten wir:

$\cos a\quad =\quad \cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha$

Dies ist eine der wesentlichen Beziehung der sphärischen Trigonometrie. Durch zyklische Vertauschung von a, b, c, α, β und γ erhalten wir ein Set von drei Gleichungen, die als Seiten-Cosinussatz bekannt sind:

$\cos a\quad =\quad \cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha$

$\cos b\quad =\quad \cos a\cdot \cos c+\sin a\cdot \sin c\cdot \cos \beta \qquad {\text{(I)}}$

$\cos c\quad =\quad \cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma$

Wie eingangs erwähnt wollen wir die weiteren Sätze nicht mehr beweisen, sondern zur Kenntnis nehmen. Als nächstes folgt der sphärische Sinussatz:

${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}\quad =\quad {\frac {\sin \beta }{\sin b}}\quad =\quad {\frac {\sin \gamma }{\sin c}}\qquad {\text{(II)}}$

Als dritter folgt der Sinus-Cosinussatz:

$\sin a\cdot \cos \beta \quad =\quad \cos b\cdot \sin c-\sin b\cdot \cos c\cdot \cos \alpha$

$\sin b\cdot \cos \gamma \quad =\quad \cos c\cdot \sin a-\sin c\cdot \cos a\cdot \cos \beta \qquad {\text{(III)}}$

$\sin c\cdot \cos \alpha \quad =\quad \cos a\cdot \sin b-\sin a\cdot \cos b\cdot \cos \gamma$

Als vierter folgt der Kotangenssatz, auch bekannt als „Vier-Elemente-Formeln“:

$\cos a\cdot \cos \gamma \quad =\quad \sin a\cdot \cot b-\sin \gamma \cdot \cot \beta$

$\cos b\cdot \cos \alpha \quad =\quad \sin b\cdot \cot c-\sin \alpha \cdot \cot \gamma \qquad {\text{(IV)}}$

$\cos c\cdot \cos \beta \quad =\quad \sin c\cdot \cot a-\sin \beta \cdot \cot \alpha$

Zum Abschluss folgen Delambre's Gleichungen (V) und daraus abgeleitet die Neperschen Gleichungen (VI):

$\sin \left({\frac {c}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\quad =\quad \cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)$

$\sin \left({\frac {c}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\quad =\quad \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)$

$\!\ {\text{(V)}}$

$\cos \left({\frac {c}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\quad =\quad \cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)$

$\cos \left({\frac {c}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\quad =\quad \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)$

$\tan \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\quad =\quad \cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {c}{2}}\right)$

$\tan \left({\frac {a-b}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\quad =\quad \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {c}{2}}\right)$

$\!\ {\text{(VI)}}$

$\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\quad =\quad \cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\cdot \cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)$

$\tan \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\quad =\quad \sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\cdot \cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)$

Übungen

• Ein Interkontinentalflug führt von Frankfurt M. (+8° 33' E, +50° 02' N) nach Los Angeles (–118° 24' W; +33° 57' N). Der Pilot fliegt auf der kürzesten Bahn, also auf einem Grosskreisbogen. Die Flugzeit von Frankfurt M. nach LA International beträgt rund 10 Stunden. Wie lange ist die Flugstrecke, und welche mittlere Geschwindigkeit hat das Flugzeug demnach? Rechnen Sie mit einer mittleren Flughöhe von 10 km.

• Welche geografische Breite und welche geografische Länge hat der nördlichste Punkt der Flugbahn auf dem Weg von Frankfurt M. nach LA International? Welchen Winkel zur Nordrichtung muss der Pilot beim Starten steuern? Unter welchem Winkel fliegt er LA International an? Nehmen Sie für beide Aufgaben an, die Erde habe eine Kugelgestalt.

Koordinatentransformationen

Horizontsystem und festes Äquatorsystem

Das im Text beschriebene Poldreieck zur Umrechnung der Koordinatensysteme

Mit den sechs im letzten Kapitel vorgestellten Formelgruppen haben wir das nötige Rüstzeug, um Koordinaten, die in einem bestimmten Koordinatensystem gegeben sind, in ein anderes System umzurechnen. Im folgenden soll diese Umrechnung am Beispiel der Umwandlung vom Horizontsystem ins feste Äquatorsystem exemplarisch durchgeführt werden. Für die übrigen Umrechnungen geben wir nur noch das Ergebnis an. Die Herleitung überlassen wir Ihnen als geneigtem Leser.

Die beiden Pole von Horizontsystem (Zenit Z) und festem Äquatorsystem (Himmelsnordpol N) bilden zusammen mit dem Objekt O, dessen Koordinaten vom einen ins andere System umgerechnet werden sollen, ein sphärisches Dreieck. Sind [τ; δ] die festen Äquatorkoordinaten Stundenwinkel und Deklination des Objektes; [A; h] bzw. [A; z] die Horizontkoordinaten Azimut und Höhe bzw. Zenitdistanz; ϕ die geografische Breite des Beobachters, dann gilt im sphärischen Dreieck ZNO: ZN = 90° – ϕ; ZO = z = 90° – h; NO = 90° – δ für die drei Seiten. Zwei Winkel hängen mit Koordinaten zusammen: $\sphericalangle (OZN)\;=\;180^{\circ }-A,\;\sphericalangle (ZNO)\;=\;\tau$. Wir wenden auf dieses Dreieck den Seiten-Cosinussatz an und erhalten:

$\cos z\quad =\quad \cos(90^{\circ }-\varphi )\cdot \cos(90^{\circ }-\delta )\;+\;\sin(90^{\circ }-\varphi )\cdot \sin(90^{\circ }-\delta )\cdot \cos \tau$

Aus der ebenen Trigonometrie ist bekannt, dass sin(90° – x) = cos x und cos(90° – x) = sin x. Damit finden wir:

$\cos z\quad =\quad \sin h\quad =\quad \sin \varphi \cdot \sin \delta \;+\;\cos \varphi \cdot \cos \delta \cdot \cos \tau$

Sind die Koordinaten [τ; δ] im festen Äquatorsystem und die geografische Breite ϕ bekannt, lässt sich mit dieser Gleichung die Zenitdistanz oder die Höhe berechnen. Zur Berechnung des Azimutes wenden wir den Cotangenssatz auf das Dreieck ZNO an:

$\cos(90^{\circ }-\varphi )\cdot \cos \tau \quad =\quad \sin(90^{\circ }-\varphi )\cdot \cot(90^{\circ }-\delta )\;-\;\sin \tau \cdot \cot(180^{\circ }-A)$

Aus der ebenen Trigonometrie ist weiterhin bekannt, dass cot(90° – x) = tan x und cot(180° – x) = –cot x, und dass der Cotangens eines Winkels der Kehrwert des Tangens von eben diesem Winkel ist. Damit finden wir:

$\sin \varphi \cdot \cos \tau \quad =\quad \cos \varphi \cdot \tan \delta \;+\;{\frac {\sin \tau }{\tan A}}$

Lösen wir nach tan A auf, so erhalten wir eine Gleichung, mit deren Hilfe wir bei Kenntnis der Koordinaten im festen Äquatorsystem und der geografischen Breite das Azimut berechnen können:

$\tan A\quad =\quad {\frac {\sin \tau }{\sin \varphi \cdot \cos \tau \;-\;\cos \varphi \cdot \tan \delta }}$

Beispiel

Welche Koordinaten hat der Himmelsnordpol im Horizontsystem, wenn er im festen Äquatorsystem die Koordinaten δ = 90° und τ = 0° hat? Der Stundenwinkel ist willkürlich, denn eigentlich ist er unbestimmt. Setzen wir ein, so finden wir cos z = sin h = sin ϕ, woraus wir h = ϕ bzw. z = 90° – ϕ finden. Für das Azimut erhalten wir $\tan A\;=\;{\frac {0}{-\infty }}$, denn $\tan 90^{\circ }\;=\;\infty$. Daraus finden wir A = 180°. Wir erkennen nun auch den Vorteil, dass wir zur Bestimmung des Azimuts eine Formel mit dem Tangens gewählt haben. Betrachten wir jeweils Zähler Z und Nenner N separat, können wir eindeutig festlegen, in welchem Quadranten der Winkel liegt:

• Z > 0, N > 0 : A liegt im ersten Quadranten, dh. 0° ≤ A ≤ 90°

• Z > 0, N < 0 : A liegt im zweiten Quadranten, dh. 90° < A ≤ 180°

• Z < 0, N < 0 : A liegt im dritten Quadranten, dh. 180° < A ≤ 270°

• Z < 0, N > 0 : A liegt im vierten Quadranten, dh. 270° < A < 360°

Für die umgekehrte Transformation wählen wir wieder den Seiten-Cosinussatz und den Cotangenssatz, jetzt aber mit einer anderen Kombination der Bestimmungsstücke:

$\cos(90^{\circ }-\delta )\quad =\quad \cos z\cdot \cos(90^{\circ }-\varphi )\;+\;\sin z\cdot \sin(90^{\circ }-\varphi )\cdot \cos(180^{\circ }-A)$

womit wir sofort finden:

$\sin \delta \quad =\quad \cos z\cdot \sin \varphi \;-\;\sin z\cdot \cos \varphi \cdot \cos A\quad =\quad \sin h\cdot \sin \varphi \;-\;\cos h\cdot \cos \varphi \cdot \cos A$

Für den Stundenwinkel finden wir mit dem Cotangenssatz:

$\cos(90^{\circ }-\varphi )\cdot \cos(180^{\circ }-A)\quad =\quad \sin(90^{\circ }-\varphi )\cdot \cot z\;-\;\sin(180^{\circ }-A)\cdot \cot \tau$

woraus wir ableiten:

$\tan \tau \quad =\quad {\frac {\sin A}{\cos A\cdot \sin \varphi \;+\;\tan h\cdot \cos \varphi }}$

Beispiel

Welche Koordinaten hat der Zenit (h = 90° bzw. z = 0°; A = 0° – wiederum willkürlich festgelegt). Wir finden sin δ = sin ϕ, also δ = ϕ. Mit analogen Überlegungen wie oben finden wir: τ = 0° = 0^h.

Zusammengefasst: Für die Umrechnung zwischen dem Horizontsystem und dem festen Äquatorsystem gelten die Formeln:

Umwandlung von festen Äquatorkoordinaten in Horizontkoordinaten:

$\cos z\quad =\quad \sin h\quad =\quad \sin \varphi \cdot \sin \delta \;+\;\cos \varphi \cdot \cos \delta \cdot \cos \tau$

$\tan A\quad =\quad {\frac {\sin \tau }{\sin \varphi \cdot \cos \tau \;-\;\cos \varphi \cdot \tan \delta }}$

Umwandlung von Horizontkoordinaten in Äquatorkoordinaten:

$\sin \delta \quad =\quad \cos z\cdot \sin \varphi \;-\;\sin z\cdot \cos \varphi \cdot \cos A\quad =\quad \sin h\cdot \sin \varphi \;-\;\cos h\cdot \cos \varphi \cdot \cos A$

$\tan \tau \quad =\quad {\frac {\sin A}{\cos A\cdot \sin \varphi \;+\;\tan h\cdot \cos \varphi }}$

Festes Äquatorsystem und rotierendes Äquatorsystem

Dies ist eine einfache Umwandlung, aber eine wichtige: über diese Umwandlung werden astronomische Koordinaten mit den Zeitsystemen verknüpft. Die wichtigsten Aussagen in diesem Zusammenhang:

Der Stundenwinkel τ des Frühlingspunktes ist gleich der lokalen Sternzeit θ.

Der um 12 Stunden (180°) erhöhte Stundenwinkel der Sonne ist gleich der Ortszeit.

Die Grafik illustriert den Zusammenhang zwischen festem und rotierendem Äquatorsystem sowie der Sternzeit

Handelt es sich um die mittlere Sonne, dann ist es mittlere Ortszeit MOZ. Handelt es sich um die wahre Sonne, dann ist es die wahre Ortszeit WOZ:

$MOZ\quad =\quad \tau _{m\odot }\;+\;12^{\text{h}}$

$WOZ\quad =\quad \tau _{w\odot }\;+\;12^{\text{h}}$

Handelt es sich um den mittleren Frühlingspunkt, dann ist es die mittlere Sternzeit. Handelt es sich um den wahren (bzw. scheinbaren) Frühlingspunkt, dann ist es die scheinbare Sternzeit. Damit ist auch der Begriff „Gleichung des Äquinoktiums“ für die Differenz zwischen den beiden verständlicher, handelt es sich beim Frühlingspunkt doch um den Punkt, in dem die Sonne sich zum Zeitpunkt der Frühlings-Tag-und-Nachtgleiche aufhält.

Die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Systemen wird in der nebenstehenden Figur illustriert. Beachten Sie aber, dass es sich beim geografischen und dem rotierenden Äquatorsystem um rechtshändige Systeme handelt, beim festen Äquatorsystem aber um ein linkshändiges System.

Zusammengefasst gilt für die Beziehung zwischen α und τ (δ ist ohnehin in beiden Systemen gleich).

$\tau \quad =\quad \theta \;-\;\alpha \quad =\quad \theta _{0}\;+\;\lambda \;-\;\alpha$

mit θ der Ortssternzeit und θ₀ der Sternzeit in Greenwich;

λ der geografischen Länge, positiv nach Osten, negativ nach Westen.

Rotierendes Äquatorsystem und Ekliptiksystem

Nicht selten muss man zuerst rechtwinklige Ekliptikkoordinaten in polare Ekliptikkoordinaten umwandeln:

$r\quad =\quad {\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}$

$\lambda \quad =\quad \arctan \left({\frac {Y}{X}}\right)$

$\beta \quad =\quad \arcsin \left({\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}}\right)$

Dann gilt für die Umwandlung der beiden Koordinatensysteme (den Beweis mit Hilfe des Poldreiecks analog der Umwandlung vom Horizontsystem ins feste Äquatorsystem überlassen wir wie angekündigt Ihnen als Leser):

Umwandlung von Äquatorkoordinaten in Ekliptikkoordinaten:

$\sin \beta \quad =\quad \sin \delta \cdot \cos \varepsilon \;-\;\cos \delta \cdot \sin \varepsilon \cdot \sin \alpha$

$\tan \lambda \quad =\quad {\frac {\sin \alpha \cdot \cos \varepsilon \;+\;\tan \delta \cdot \sin \varepsilon }{\cos \alpha }}$

Umwandlung von Ekliptikkoordinaten in Äquatorkoordinaten:

$\sin \delta \quad =\quad \sin \beta \cdot \cos \varepsilon \;+\;\cos \beta \cdot \sin \varepsilon \cdot \sin \lambda$

$\tan \alpha \quad =\quad {\frac {\sin \lambda \cdot \cos \varepsilon \;-\;\tan \beta \cdot \sin \varepsilon }{\cos \lambda }}$

ε ist die Schiefe der Ekliptik, also der Winkel zwischen der Ekliptik und dem Himmelsäquator. Die Standardepochen sowie der Typ der Koordinaten muss jeweils übereinstimmen: sind z.B. α und δ auf die Standardepoche J2000.0 bezogen, dann müssen es auch λ, β und ε sein. Die mittlere Schiefe der Ekliptik hat für die Standardepoche J2000.0 den Wert ε = 23° 26' 21.406". Werden jedoch scheinbare Koordinaten verwendet, dann ist auch die wahre Schiefe der Ekliptik für die Umwandlung zu benutzen.

Rotierendes Äquatorsystem und galaktisches System

Die Koordinaten des galaktischen Pols und des Ursprungs der Längenzählung wurde von der IAU per Definition festgelegt, die Koordinaten α₁₉₅₀ = 12^h 49^m = 192.25° und δ₁₉₅₀ = +27 24' des galaktischen Nordpols sind also genaue, nicht ungefähre Werte. Bevor Äquatorkoordinaten ins galaktische System umgewandelt werden können, müssen sie auf die Standardepoche B1950.0 umgewandelt werden. Umgekehrt stehen Koordinaten nach der Umwandlung vom galaktischen System ins Äquatorsystem in der Standardepoche B1950.0 zur Verfügung und müssen nach Bedarf in die gewünschte Standardepoche umgewandelt werden.

Umwandlung vom rotierenden Äquatorsystem zur Standardepoche B1950.0 ins galaktische System:

$\sin b\quad =\quad \sin \delta \cdot \sin 27.4^{\circ }\;+\;\cos \delta \cdot \cos 27.4^{\circ }\cdot \cos(192.25^{\circ }-\alpha )$

$\tan x\quad =\quad {\frac {\sin(192.25^{\circ }-\alpha )}{\cos(192.25^{\circ }-\alpha )\cdot \sin 27.4^{\circ }\;-\;\tan \delta \cdot \cos 27.4^{\circ }}}$

$l\quad =\quad 303^{\circ }\;-\;x$

Umwandlung vom galaktischen System ins rotierende Äquatorsystem zur Standardepoche B1950.0

$\sin \delta \quad =\quad \sin b\cdot \sin 27.4^{\circ }\;+\;\cos b\cdot \cos 27.4^{\circ }\cdot \cos(l-123^{\circ })$

$\tan y\quad =\quad {\frac {\sin(l-123^{\circ })}{\cos(l-123^{\circ })\cdot \sin 27.4^{\circ }\;-\;\tan b\cdot \cos 27.4^{\circ }}}$

$\alpha \quad =\quad 12.25^{\circ }\;+\;y$

Ein Beispiel

Der Hauptstern des Sternbildes Jungfrau ist Spica, α Vir, HD 116658, SAO 157923 hat die Koordinaten α₂₀₀₀ = 13^h 25^m 11.601^s = 201.298338°, δ₂₀₀₀ = –11° 9' 40.64" (α₁₉₅₀ = 13^h 22^m 33.301^s = 200.638754°, δ₁₉₅₀ = –10° 54' 3.36"). Berechnen Sie die mittleren Koordinaten dieses Sterns in den übrigen Koordinatensystemen für den Ort Wildspitz (LV03-Koordinaten 686490/215460/1580) am 5. April 2007 um 22:45 h MESZ. Lassen Sie die Eigenbewegung (noch) unberücksichtigt.

Lösung

Es ist UT = 22:45^h – 2^h = 20.75^h, somit JD = 2454196.364583. Für die geografischen Koordinaten finden wir λ = 8° 34' 39.52", ϕ = +47° 5' 4.2", H = 1628 m. Mit diesen Daten finden wir für die mittlere Ortssternzeit zum Zeitpunkt 22:45^h MEZ θ = 10^h 14^m 23.7^s. Aus einem Jahrbuch entnehmen wir für die Schiefe der Ekliptik ε = 23° 26' 27.4". Damit sind alle Parameter bereit, um die Umwandlungen vornehmen zu können:

Umwandlung vom rotierenden ins feste Äquatorsystem ergibt:

δ = –11° 9' 40.64; τ = 20.82003^h = 20^h 49^m 12.1^s = 312.30042°

Umwandlung vom festen Äquatorsystem ins Horizontsystem ergibt:

h = 17.84295° = 17° 50' 35", z = 72° 9' 25", A = 310° 21' 21"

Umwandlung vom rotierenden Äquatorsystem ins Ekliptiksystem ergibt:

β = –2.05375° = –2° 4' 47", λ = 203.84147° = 203° 50' 29"

Spica hat eine so geringe ekliptikale Breite, dass sie immer wieder vom Mond und gelegentlich – wenn auch sehr selten – auch von Planeten bedeckt wird.

Umwandlung vom rotierenden Äquatorsystem in das galaktische System ergibt:

b = 50.84483° = 50° 50' 41", x = 346.88663°; l = 316.11337° = 316° 6' 48"

Die Ekliptik am Horizont

Zwischen der Ekliptik und dem Horizont gibt es wie immer zwischen zwei Grosskreisen zwei Schnittpunkte. An einem gegebenen Ort und zu gegebener Zeit, dh. die Grössen geografische Breite ϕ, lokale Sternzeit θ und Schiefe der Ekliptik ε sind bekannt, haben diese beiden Punkte die ekliptikale Länge λ

$\tan \lambda \quad =\quad {\frac {-\cos \theta }{\sin \theta \cdot \cos \varepsilon +\tan \phi \cdot \sin \varepsilon }}$

Die beiden Grosskreise schliessen am Horizont den Winkel I ein, der sich wie folgt berechnen lässt:

$\cos I\quad =\quad \cos \varepsilon \cdot \sin \phi \;-\;\sin \varepsilon \cdot \cos \phi \cdot \sin \theta$

Im Laufe eines Tages variiert θ zwischen 0 und 24^h bzw. 0 und 2π. Falls θ = +π/2 ist, erhält cos I den kleinstmöglichen Wert. Falls θ = 3π/2 ist, erhält cos I den grösstmöglichen Wert. Daraus folgt für Orte auf der Nordhalbkugel

$I_{max}\quad =\quad 90^{\circ }\;-\;\phi \;+\;\varepsilon$

$I_{min}\quad =\quad 90^{\circ }\;-\;\phi \;-\;\varepsilon$

Verwechseln Sie I nicht mit dem Winkel, unter die Sonne oder ein anderer Himmelskörper über den Horizont steigt. Dies ist gleich dem Winkel, den der entsprechende Deklinationskreis – ein Breitenkreis – mit dem Horizont bildet. I wird benötigt, wenn man abschätzen will, um wieviel ein Objekt auf der Ekliptik am folgenden Tag später auf- oder untergeht.

Allgemeines zu Koordinatentransformationen

Koordinatentransformation können im allgemeinen Fall aus einer Verschiebung des Ursprungs (Translation), einer Drehung (Rotation), einer Skalierung oder einer Scherung bestehen. Scherungen – dh. Überführung in ein Koordinatensystem mit nicht mehr rechtwinkligen Achsen – spielen in der klassischen Physik – die für Amateure relevant ist – praktisch keine Rolle. Neuskalierungen passieren immer dann, wenn man den Massstab ändert, z.B. von AE auf km oder ly bzw. pc. In der Praxis des Amateurs sind es vor allem die Translation und die Rotation, die eine Rolle spielen:

• Eine Translation muss immer dann erfolgen, wenn der Ursprung von altem und neuem Koordinatensystem nicht übereinstimmen. Dies ist z.B. der Fall beim Wechsel von geozentrischen ekliptikalen Koordinaten zu heliozentrischen ekliptikalen Koordinaten oder beim Wechsel vom geozentrischen (bzw. baryzentrischen) festen Äquatorsystem zum topozentrischen festen Äquatorsystem.

• Eine Rotation spielt in fast allen besprochenen Koordinatentransformationen eine Rolle: Horizontsystem und festes Äquatorsystem haben als gemeinsame Achse jene Achse, die vom Beobachter zum Westpunkt am Horizont weist. Werden die erste und dritte Achse um den Winkel 90° – ϕ um die gemeinsame Achse gedreht, so wird das eine System ins andere überführt. Bei Ekliptik- und rotierendem Äquatorsystem ist es eine Drehung um den Winkel ε um die gemeinsame erste Achse, die zum Frühlingspunkt weist.

Translationen lassen sich besonders einfach mit Hilfe von Vektoren beschreiben. Hat ein Objekt in einem ersten Koordinatensystem den Ortsvektor ${\overrightarrow {r_{0}}}\;=\;[X_{0},Y_{0},Z_{0}]$, in einem zweiten Koordinatensystem dagegen ${\overrightarrow {r_{0}'}}\;=\;[X_{0}',Y_{0}',Z_{0}']$, und hat der Ursprung des zweiten Koordinatensystems im ersten den Ortsvektor ${\vec {a}}\;=\;[a_{x},a_{y},a_{z}]$, dann gilt die Beziehung

${\overrightarrow {r_{0}'}}\quad =\quad {\overrightarrow {r_{0}}}\;-\;{\vec {a}}\quad =\quad [X_{0}-a_{x},Y_{0}-a_{y},Z_{0}-a_{z}]$

Beispiel

Zu einem bestimmten Zeitpunkt hat Mars die heliozentrischen ekliptikalen Koordinaten λ = 271° 09' 19.5", β = –1° 13' 49.5", r = 1.452 4326 AE; zum gleichen Zeitpunkt hat die Sonne die geozentrischen Koordinaten X_⊙ = +0.783 7432; Y_⊙ = +0.632 4494; Z_⊙ = –0.000 0007. Wie lauten die geozentrischen ekliptikalen kartesischen Koordinaten des Mars? Mit der aktuellen Schiefe der Ekliptik ε = 23° 26' 36.146" sollen anschliessend noch die geozentrischen Koordinaten im rotierenden Äquatorsystem berechnet werden.

Zuerst berechnen wir aus den heliozentrischen Polarkoordinaten des Mars seine rechtwinkligen heliozentrischen Koordinaten. Es ist X_M = r ∙ cos λ ∙ cos β = +0.029 2808, Y_M = r ∙ sin λ ∙ cos β = –1.451 8025, Z_M = r ∙ sin β = –0.031 1883. Zur Kontrolle: r ist tatsächlich 1.452 4326 (berechnet aus [X, Y, Z]). Das heliozentrische System ist das erste, das geozentrische das zweite System. Gegeben ist in diesem Fall mit den geozentrischen Sonnenkoordinaten also nicht ${\vec {a}}$, sondern $-{\vec {a}}$. Dann ist mit den gegebenen Grössen:

$X_{M}'\quad =\quad X_{M}\;+\;X_{\odot }\quad =\quad +0.813\;0240$

$Y_{M}'\quad =\quad Y_{M}\;+\;Y_{\odot }\quad =\quad -0.819\;3530$

$Z_{M}'\quad =\quad Z_{M}\;+\;Z_{\odot }\quad =\quad -0.031\;1891$

Wie weiter oben ausgeführt, lassen sich daraus die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten berechnen: ekliptikale Länge λ' = 314° 46' 40.28", ekliptikale Breite β' = –1° 32' 52.03". Im weiteren ergibt sich für den geozentrischen Abstand des Mars Δ = 1.154 6948. Mit dem gegebenen Wert der Schiefe der Ekliptik findet man für die Rektaszension α = 21^h 10^m 52^s, für die Deklination δ = –17° 53' 01".