Bauelemente: Band 1: Kondensatoren

Ein einfacher Kondensator besteht aus zwei Metallplatten, die zueinander isoliert sind. Kondensatoren können elektrische Ladungen speichern. So kann ein Kondensator z. B. zur Spannungsglättung dienen oder in der Elektronik als Zeitgeber fungieren. Im Wechselstromkreis wirkt ein Kondensator als Widerstand (kapazitiver Blindwiderstand) und kann auch zur Kompensation von induktiven Verbrauchern wie Leuchtstofflampen und Elektromotoren verwendet werden.

Sieben verschiedene Kondensatoren; von links nach rechts (nur zum Überblick): keramische Kondensatoren, Folienkondensatoren und Elektrolytkondensatoren

Folgende Kondensatoren gibt es:

• Elektrolytkondensatoren (Elkos)
• Tantalkondensatoren
• Folienkondensatoren
• Keramikkondensatoren

Dabei weisen Elektrolytkondensatoren in der Regel hohe Kapazitäten auf, haben aber den Nachteil mit der Zeit auszutrocknen, und zwar umso schneller, je wärmer sie werden. Außerdem haben sie im Gegensatz zu anderen Kondensatoren eine festgelegte Polarität (Einbaurichtung).

Kondensatoren werden unter anderem nach folgenden Kriterien unterschieden:

• Kapazität
• Spannungsfestigkeit
• Innenwiderstand
• Fertigungstoleranz
• Maximaltemperatur

Die Kapazität hängt von dem Plattenabstand, der Plattenfläche und dem Isolator (Dielektrikum) ab.

Begriff und Funktionsprinzip

Das Funktionsprinzip eines Kondensators kann sehr anschaulich mit der nebenstehenden Versuchsanordnung dargestellt werden:

Der Kondensator wird durch zwei elektrisch leitende Platten (z. B. aus Eisen) der Fläche A mit dem Abstand d aufgebaut. Man bezeichnet diese einfachste Bauform eines Kondensators als „Plattenkondensator“.

Weiter besteht die Anordnung aus einer Gleichspannungsquelle (praktisch: „Netzgerät“), einem Schalter und dem Widerstand R, welcher mindestens den Innenwiderstand des Netzgerätes und der Leitungen repräsentiert.

Wird der Schalter geschlossen, fließt für kurze Zeit ein Strom, obwohl der Stromkreis zwischen den beiden Platten der Kondensatoranordnung unterbrochen ist.

Um die Erklärung dafür anschaulich zu gestalten, wird die Darstellung der Platten des Kondensators auf 2 Dimensionen reduziert. Der übrige Aufbau ist zunächst weniger bedeutend und wird anfänglich nicht dargestellt:

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Auf beiden Platten des Kondensators sind gleich viele positive und negative Ladungen: Es gibt genauso viele Elektronen wie Protonen in den Atomkernen.

Man kann sich das so vorstellen, dass sich die elektrischen Wirkungen der Ladungsträger gegenseitig aufheben.

Die beiden Kondensatorplatten sind daher elektrisch neutral.

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Um die Übersichtlichkeit der Skizze zu erhalten werden nur Ladungsträger dargestellt, welche in der Überzahl sind. Das sind zunächst gar keine, weshalb die Skizze nun zwei leere Platten zeigt.

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Wird der Schalter umgelegt, werden der rechten Seite durch die positive Spannung Elektronen entzogen und der linken Platte durch die negative Spannung gleich viele Elektronen zugeführt.

Von außen betrachtet, sieht es so aus, als ob der Strom durch den Kondensator „hindurchfließen“ würde.

Die positiven und negativen Ladungsträger ziehen sich natürlich an (bzw. die Elektronen auf der rechten Seite werden verdrängt). Demnach konzentrieren sich die Ladungen an der Oberfläche zueinander, weshalb für die "Platten" des Kondensators eine hauchdünne Folie genügt.

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Während sich die Elektronen bewegen, wird zwischen den Platten solange eine elektrische Spannung aufgebaut, bis die Spannung über dem Kondensator gleich der Spannung aus der Spannungsquelle ist.

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Der Schalter wird nun umgeschaltet, so dass der Kondensator zur einzigen Spannungsquelle in der Schaltung wird.

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Der Kondensator wirkt nun wie eine winzige Batterie. Er entlädt sich, d. h. der Strom fließt in umgekehrter Richtung.

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Der Entladevorgang ist abgeschlossen, wenn die Kondensatorplatten wieder elektrisch neutral sind bzw. sich keine überschüssigen Ladungsträger mehr auf den Platten befinden.

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Wird der Schalter wieder umgelegt, so wird der Kondensator erneut geladen. Der dargestellte Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden.

Zusammenfassung: Kondensatoren sind Speicher für elektrische Ladungen und damit auch elektrische Energie. Er ist mit einem Eimer vergleichbar: Man kann den Eimer mit Wasser befüllen und das eingefüllte dann natürlich auch wieder entnehmen. Batterien können ähnlich beschrieben werden. Sie haben jedoch ein anderes Funktionsprinzip und andere elektrische Eigenschaften. U. a. sind ihre Kapazitäten wesentlich größer.

Elektrotechnische Grundlagen

Im Folgenden sollen die elektrischen Eigenschaften von Kapazitäten in der Elektrotechnik dargestellt werden, welche einen großen Beitrag zum Verständnis der Bauteileigenschaften leisten. Kapazitäten können hier zur eigenen Veranschaulichung als ideale Kondensatoren betrachtet werden.

Dabei geht es in erster Linie um die Wirkung von Kapazitäten und deren mathematische Behandlung. Es muss z.T. auf Grundlagen zurückgegriffen werden, die möglicherweise dem Leser nicht bekannt sind. Oft handelt es bei solchen Abschnitten um Herleitungen, die "übersprungen" werden können. Letztendlich ist das Ergebnis entscheidend... Leider gibt es auch Teile, die nicht fachkundigen Lesern völlig unzugänglich sind, aber so tief ins Detail führen, dass sie für diese Gruppe ohnehin uninteressant sind.

Als erstes soll die allgemeine Beziehung zwischen Spannung und Strom für Kapazitäten dargestellt werden, aus welcher sich mathematisch das Verhalten für beliebige Spannungen und Ströme herleiten lässt. Diese Beziehungen werden dann für die Betrachtungen am Gleich- und Wechselstromkreis genutzt.

Durch das Dielektrikum eines Kondensators fließt kein Strom. Legt man eine Spannung am Kondensator an, so fließt jedoch für die "Ladezeit" durch das Speichern bzw. Abgeben von Elektronen ein Strom. Es entsteht der Eindruck, er fließe durch den Kondensator.

Es fließt also nur ein Strom, wenn sich die Spannung über der Kapazität ändert. Die Größe des Stromes zum Zeitpunkt t hängt von der Kapazität C und der Größe der Spannungsänderung zu diesem Zeitpunkt ab. Es gilt daher

$i_{C}(t)=C{\frac {du_{C}(t)}{dt}}$

wobei du_C(t)/dt als "Änderungsgeschwindigkeit der Spannung zum Zeitpunkt t" gelesen werden kann.

Nimmt man die Änderung der Spannung über den Zeitraum Δt als konstant an, gilt für den Strom in diesem Zeitraum:

$i_{C}=C{\frac {\Delta u_{C}}{\Delta t}}$

An diesen Gleichungen erkennt man, dass die Spannung über einer Kapazität sich nicht schlagartig bzw. unendlich schnell ändern kann, da sonst der Strom unendlich groß würde. Der Verlauf der Spannung über dem Kondensator ist also in jedem Falle stetig bzw. "springt" nicht.

Weiter gilt C = Q/U, woraus der Zusammenhang U = Q/C folgt. Die Ladung Q ist der im Kondensator gesammelte Strom i_C bis zum betrachteten Zeitpunkt t₁. Die Spannung über einer Kapazität zum Zeitpunkt t₁ folgt daher aus dessen Spannung zum Zeitpunkt t₀ und der gesammelten Ladung im Zeitraum Δt = t₁ - t₀:

$u_{C}(t_{1})={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{t_{1}}{i_{C}(t)}{dt}={\frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{i_{C}(t)}{dt}+u_{C}(t_{0})$

Im einfachsten Fall ist u_C0 = 0 und der Strom in den Kondensator konstant. Die Spannung über dem Kondensator könnte einfach mit

$u_{C}(t_{1})={\frac {1}{C}}\cdot \Delta t\cdot i$

berechnet werden.

Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung lässt sich die eine Gleichung aus der anderen herleiten.

Kapazitäten im Gleichstromkreis

In diesem Abschnitt sollen Lade- und Entladevorgang von Kapazitäten bzw. idealen Kondensatoren untersucht werden. Die Grundlage für die nachfolgenden Überlegungen und Berechnungen ist folgende Schaltung:

Schaltung für Ladevorgang des Kondensators

Schaltung für Entladevorgang des Kondensators

Befindet sich der Schalter in der oberen Position, so wird die Kapazität über den Widerstand geladen. In der unteren Stellung wird der Kondensator über den Widerstand entladen.

Ladevorgang

Nun soll der Schalter zum Zeitpunkt t₀ = 0 von der unteren in die obere Stellung umgeschaltet werden, wobei die Kapazität sich zuvor auf die Spannung U_C0 entladen hat. Zur Berechnung der Spannungen und Ströme in der Schaltung wird zuerst die Maschengleichung zum Zeitpunkt t₀ formuliert. Der Schalter befindet sich gerade in der oberen Position:

$U_{Q}-u_{C}-u_{R}=U_{Q}-{\frac {1}{C}}\int {i(t)dt}-Ri(t)=0$

$\Leftrightarrow \int {i(t)dt}+RCi(t)-CU_{Q}=0$

Diese einfache Integralgleichung kann durch Differentiation in eine gewöhnliche homogene Differentialgleichung 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten umgeformt werden:

$i(t)+RC{\frac {di(t)}{dt}}=0$

$\Leftrightarrow {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}i(t)=0$

Das Zwischenergebnis entspricht der Form

$y'+f(x)\cdot y=0$

mit der allgemeinen Lösung

$y=K\cdot e^{-{\int {f(x)dx}}}$ mit $K\in \mathbb {R}$

Daraus folgt für das aktuelle Problem die Lösung

$i(t)=K\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}$

in der K ein aus der Anfangsbedingung u_C(t₀) = U_C0 zu bestimmender Faktor ist. Dazu wird die Maschengleichung zum Zeitpunkt des Schaltens t₀ aufgestellt und umgeformt:

$U_{Q}-U_{C0}-u_{R}(t_{0})=U_{Q}-U_{C0}-i(t_{0})R=U_{Q}-U_{C0}-Ke^{-{\frac {0}{RC}}}R=U_{Q}-U_{C0}-KR=0$

$\Leftrightarrow K={\frac {U_{Q}-U_{C0}}{R}}$

Damit ist die Gleichung für den Ladestrom des Kondensators:

$i(t)={\frac {U_{Q}-U_{C0}}{R}}e^{-{\frac {t}{RC}}}$

Zum Zeitpunkt des Schaltens t = 0 ist

$i(0)={\frac {U_{Q}-U_{C0}}{R}}$

woran erkennbar ist, dass der Kondensator im ersten Augenblick des Umschaltens wie ein Kurzschluss wirkt. Demnach fließt zu diesem Zeitpunkt der maximale Strom.

Das Produkt R·C bestimmt den zeitlichen Verlauf des Ladevorgangs und wird deshalb in der Zeitkonstante

$\tau =R\cdot C$

$[\tau ]=[R]\cdot [C]=\mathrm {{\frac {V}{A}}\cdot {\frac {As}{V}}=s}$

zusammengefasst. Daher schreibt man

$i(t)={\frac {U_{Q}-U_{C0}}{R}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Trägt man i(t) über der Zeit auf, so findet man die typische - im Übrigen gern experimentell gefundene - Ladekurve eines Kondensators:

Strom des Ladevorgangs

Aus dem Strom kann der Verlauf der Spannung über dem Widerstand recht einfach berechnet werden:

$u_{R}(t)=i(t)R=(U_{Q}-U_{C0})e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Für die Spannung über dem Kondensator muss zusätzlich die Spannung U_C0 berücksichtigt werden. Weiter wird der Zeitpunkt, an dem die Spannung berechnet werden soll, T genannt:

$u_{C}(T)={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{T}i(t)dt={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{0}i(t)dt+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{T}i(t)dt=U_{C0}+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{T}i(t)dt$

Durch Einsetzen der Lösung von i(t) und das Lösen des Integrals erhält man:

$u_{C}(T)=U_{C0}+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{T}{\frac {U_{Q}-U_{C0}}{R}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}dt=U_{C0}+{\frac {U_{Q}-U_{C0}}{RC}}\int _{0}^{T}e^{-{\frac {t}{\tau }}}dt=U_{C0}+{\frac {U_{Q}-U_{C0}}{\tau }}\left|\tau e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right|_{0}^{T}$

$=U_{C0}+{\frac {U_{Q}-U_{C0}}{\tau }}\tau \left|e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right|_{0}^{T}=U_{C0}+(U_{Q}-U_{C0})(1-e^{-{\frac {T}{\tau }}})$

Wird der betrachtete Zeitpunkt wieder t genannt, sieht die Gleichung etwas schöner aus:

$u_{C}(t)=U_{C0}+(U_{Q}-U_{C0})(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})$

Spannungen des Ladevorgangs

Es kann festgehalten werden, dass die Kapazität nach dem Ladevorgang wie eine Unterbrechung des Stromkreises wirkt.

Entladevorgang

Die Untersuchung des Entladevorganges läuft prinzipiell genauso ab wie die des Ladevorganges. Der Kondensator sei auf die Spannung U_C0 geladen, als der Schalter zum Zeitpunkt t₀ = 0 in die untere Stellung gebracht wird, damit sich der Kondensator entlädt.

Schaltung für Ladevorgang des Kondensators

Schaltung für Entladevorgang des Kondensators

Zuerst wird wieder die Maschengleichung des ab t₀ geschlossenen Stromkreises aufgestellt:

$u_{R}+u_{C}=Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int {i(t)dt}=0$

$\Leftrightarrow \int {i(t)dt}+RCi(t)=0$

Die Integralgleichung wird in eine gewöhnliche homogene Differentialgleichung 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten umgeformt:

$i(t)+RC{\frac {di(t)}{dt}}=0$

$\Leftrightarrow {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}i(t)=0$

Die Maschengleichung entspricht nun der Form

$y'+f(x)\cdot y=0$

mit der allgemeinen Lösung

$y=K\cdot e^{-{\int {f(x)dx}}}$ mit $K\in \mathbb {R}$

Über einen Koeffizientenvergleich folgt:

$i(t)=K\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}$

Die Konstante K wird wieder mit einer Anfangsbedingung ermittelt. Weil die Spannung am Kondensator nicht springt, muss genau für den Umschaltzeitpunkt t = t₀ = 0 die Masche

$u_{r}(0)+U_{C0}=R\cdot i(0)+U_{C0}=0$

sein. Durch Einsetzen des Zwischenergebnisses für i(0) folgt die noch unbekannte Konstante:

$KR\cdot e^{-{\frac {0}{RC}}}+U_{C0}=KR+U_{C0}=0$

$\Leftrightarrow K=-{\frac {U_{C0}}{R}}$

Die Gleichung zur Beschreibung des Stromes während des Entladevorganges lautet demnach:

$i(t)=-{\frac {U_{C0}}{R}}e^{-{\frac {t}{RC}}}$

Um die Gleichung übersichtlicher zu gestalten, wird wieder die Ersetzung mit τ = R·C durchgeführt:

$i(t)=-{\frac {U_{C0}}{R}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Bei der Interpretation der Entladekurve ist zu beachten, dass an der Ordinate unten -100% und oben 0% von i(0) aufgetragen sind. Der Strom sinkt damit betragsmäßig nach der e-Funktion:

Strom des Entladevorgangs

Der Entladestrom ist negativ, weil er gegen den zuvor geflossenen Ladestrom gerichtet ist.

Mit dem Entladestrom kann sofort die Spannung über dem Widerstand während des Vorgangs berechnet werden:

$u_{R}(t)=i(t)R=-U_{C0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Um eine Gleichung zur Berechnung der Spannung über dem Kondensator herzuleiten, muss zusätzlich der Anfangswert der Spannung U_C0 berücksichtigt werden. Der Zeitpunkt, an dem die Spannung berechnet werden soll, wird T genannt:

$u_{C}(T)={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{T}i(t)dt={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{0}i(t)dt+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{T}i(t)dt=U_{C0}+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{T}i(t)dt=U_{C0}+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{T}i(t)dt$

Durch Einsetzen der Lösung von i(t) und das Lösen des Integrals erhält man:

$u_{C}(T)=U_{C0}+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{T}-{\frac {U_{C0}}{R}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}dt=U_{C0}-{\frac {U_{C0}}{RC}}\int _{0}^{T}e^{-{\frac {t}{\tau }}}dt=U_{C0}-{\frac {U_{C0}}{\tau }}\left|\tau e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right|_{0}^{T}$

$=U_{C0}-{\frac {U_{C0}}{\tau }}\tau \left|e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right|_{0}^{T}=U_{C0}-U_{C0}(1-e^{-{\frac {T}{\tau }}})=U_{C0}-(U_{C0}-U_{C0}\cdot e^{-{\frac {T}{\tau }}})=U_{C0}\cdot e^{-{\frac {T}{\tau }}}$

Um die Gleichung in die übliche Form zu bringen, wird der Betrachtungszeitpunkt wieder t genannt:

$u_{C}(t)=U_{C0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Spannungen des Entladevorgangs

Zusammenfassung

Schaltung für Ladevorgang des Kondensators

Schaltung für Entladevorgang des Kondensators

Legt man die oben dargestellte Schaltung zugrunde und wartet mit dem Schalten ab, bis der Kondensator vollständig umgeladen (ge- bzw. entladen) ist, so stellt sich folgendes Bild für Strom und Spannung am Kondensator ein:

Schaltung für Ladevorgang des Kondensators

Die Zeitkonstante τ = R·C bestimmt die Geschwindigkeit eines Vorganges. Der Lade- bzw. Entladevorgang gilt nach t = 5·τ als abgeschlossen, da 99,3% des Umladevorganges - was unter praktischen Gesichtspunkten etwa 100% entspricht - abgeschlossen sind.

$\tau =R\cdot C$

$[\tau ]=[R]\cdot [C]=\mathrm {{\frac {V}{A}}\cdot {\frac {As}{V}}=s}$

Für das aktuelle Beispiel ist τ für Lade- und Entladevorgang gleich, weil sie über den gleichen Widerstand durchgeführt werden. Die Skizze zeigt eine andere Schaltungsvariante, eine Kapazität umzuladen:

Weitere Schaltungsvariante zum Umladen einer Kapazität

Für diese Schaltung gibt es zwei Zeitkonstanten: Eine für die linke Tasterstellung (Laden) und eine andere für die rechte (Entladen).

Daher ist diese sehr weit verbreitete Darstellung des Umladevorganges eigentlich ein Sonderfall...

Ladevorgang

Unter der Voraussetzung, der Kondensator sei vollständig entladen, bevor er geladen wird, gelten diese sehr verbreiteten Gleichungen:

$i(t)={\frac {U_{Q}}{R}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$u_{R}(t)=U_{Q}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$u_{C}(t)=U_{Q}(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})$

Wurde der Kondensator nicht vollständig entladen, muss die Spannung zum Schaltzeitpunkt U_C0 berücksichtigt werden:

$i(t)={\frac {U_{Q}-U_{C0}}{R}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$u_{R}(t)=(U_{Q}-U_{C0})e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$u_{C}(t)=U_{C0}+(U_{Q}-U_{C0})(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})$

An den Gleichungen bzw. deren Graphen lässt sich ferner ablesen, dass man auch ohne Kenntnis der genauen Zusammenhänge 2 elementare Aussagen zum Ladevorgang machen kann:

• Zu Beginn des Ladevorgangs fließt der größte Strom. Ist der Kondensator zum Schaltzeitpunkt vollständig entladen, wirkt der Kondensator sogar wie ein Kurzschluss.

• Ist der Kondensator vollständig auf die Betriebsspannung aufgeladen, fließt kein Strom mehr "durch" den Kondensator. Praktisch wirkt er also wie eine Unterbrechung des Stromkreises.

Entladevorgang

Der Kondensator sei zum Umschaltzeitpunkt auf U_C0 geladen, dann gelten die folgenden Gleichungen:

$i(t)=-{\frac {U_{C0}}{R}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$u_{R}(t)=-U_{C0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$u_{C}(t)=U_{C0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Die negativen Vorzeichen von i(t) und u_R(t) kommen durch die Umkehr der Strom- bzw. Spannungsrichtung zustande. Sie können bei betragsmäßigen Betrachtungen vernachlässigt werden.

Kapazitäten im Wechselstromkreis

In diesem Abschnitt sollen Wirkung des Kondensators im Wechselstromkreis und deren Darstellung diskutiert werden.

Zuerst eine kleine Einführung in die Darstellung und mathematische Beschreibung von Wechselströmen bzw. -spannungen.

Grundlage der Beschreibung von Wechselspannungen und -strömen ist der am rechtwinkligen Dreieck definierte Sinus:

Definition des Sinus am rechtwinkligen Dreieck

$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$

Die Seite a kann bei konstantem c als Größe in Abhängigkeit vom Winkel definiert werden:

$a(\alpha )=c\cdot \sin(\alpha )$

Der Winkel α ist in den folgenden Zusammenhängen nur im Bogenmaß üblich. Es wird im Folgenden daher auch hier ausschließlich im Bogenmaß gerechnet.

Soll a für einen Winkel α bei gegebenem c ermittelt werden, zeichnet man einen Kreis mit dem Radius c, trägt mit dem Winkel α den Radius ein und fällt von dort das Lot auf die Waagerechte. Die Länge des Lotes entspricht a:

α = 0 a = sin(0) = 0	α = π/4 a = sin(π/4) = 1/√2	α = π/2 a = sin(π/2) = 1	α = 3π/4 a = sin(3π/4) = 1/√2	α = π a = sin(π) = 0
α = 5π/4 a = sin(5π/4) = -1/√2	α = 3π/2 a = sin(3π/2) = -1	α = 7π/4 a = sin(7π/4) = -1/√2	α = 2π a = sin(2π) = 0

Ist a oberhalb der Waagerechten, wird a positiv gezählt. Die Gesuchte a ist negativ, wenn sich die Strecke unterhalb der Waagerechten befindet.

Trägt man a in Abhängigkeit vom Winkel auf, so erhält man den Graphen der Sinus-Funktion, welcher hier durch Eintragung der Werte von a für den jeweiligen Winkel in ein kartesisches Koordinatensystem konstruiert werden soll:

α = 0 a = sin(0) = 0	α = π/4 a = sin(π/4) = 1/√2	α = π/2 a = sin(π/2) = 1
α = 3π/4 a = sin(3π/4) = 1/√2	α = π a = sin(π) = 0	α = 5π/4 a = sin(5π/4) = -1/√2
α = 3π/2 a = sin(3π/2) = -1	α = 7π/4 a = sin(7π/4) = -1/√2	α = 2π a = sin(2π) = sin(0) = 0
α = 9π/4 a = sin(9π/4) = sin(π/4) = 1/√2	α = 5π/2 a = sin(5π/2) = sin(π/2) = 1	α = 11π/4 a = sin(11π/4) = sin(3π/4) = 1/√2

Während pro Kreis nur ein a einem bestimmten α im Intervall [0;2π) zuordnet, beschreibt der Graph der Sinus-Funktion ganz allgemein die Funktion a(α).

Die Geschwindigkeit, mit welcher der Radius c sich dreht, ist die Winkelgeschwindigkeit. Sie beschreibt, um welchen Winkel sich c in 1s dreht. Von Interesse ist der Zusammenhang

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$

worin T die Zeit für eine Drehung von 2π ist. Im kartesischen Koordinatensystem entspricht das genau einer Periode, weshalb T als "Periodendauer" bezeichnet wird. Der Kehrwert der Periodendauer ist die Frequenz, welcher man zu Ehren eines bekannten Physikers die Einheit "Hertz" zugewiesen hat. Es besteht also ein Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und der Anzahl von Sinusschwingungen pro Sekunde:

$f={\frac {1}{T}}={\frac {\omega }{2\pi }}$

$[f]=\mathrm {{\frac {1}{s}}=Hz}$

Am Graphen der Sinus-Funktion lassen sich leicht weitere Eigenschaften erkennen:

Sinusfunktion

• Für alle Winkel ab 2π wiederholen sich die Werte für a:
  $a(\alpha )=a(\alpha +n\cdot 2\pi )$  mit  $n\in \mathbb {Z}$

• a(α) hat im Intervall [0;2π) ein Maximum bei π/2 und ein Minimum für α = 3π/2:
  $a({\frac {\pi }{2}})=c$
  $a({\frac {3\pi }{2}})=-c$

Ist a die Spannung u bzw. der Strom i, so liegt es nahe, statt c den Spitzenwert û bzw. î einzusetzen. Damit erhält man eine mathematische Beschreibung von Wechselspannungen bzw. -strömen:

$u(t)={\hat {u}}\cdot \sin(\omega t)$

$i(t)={\hat {i}}\cdot \sin(\omega t)$

Ausgangspunkt für weitere Betrachtungen sind wieder die allgemeinen Gleichungen für den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom an der Kapazität:

$i_{C}(t)=C{\frac {du_{C}(t)}{dt}}$

$u_{C}(t_{1})={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{t_{1}}{i_{C}(t)}{dt}$

Für Wechselspannungen bzw. -ströme findet man durch Einsetzen:

$i_{C}(t)=C{\frac {d({\hat {u}}\cdot \sin(\omega t))}{dt}}=C{\hat {u}}\omega \cdot \cos(\omega t)=C{\hat {u}}\omega \cdot \sin(\omega t+{\frac {\pi }{2}})$

$u_{C}(t)={\frac {1}{C}}\int {{\hat {i}}\cdot \sin(\omega t)}{dt}={\frac {\hat {i}}{C}}\int {\sin(\omega t)}{dt}={\frac {\hat {i}}{C}}(-{\frac {1}{\omega }}\cos(\omega t))={\frac {\hat {i}}{\omega C}}\cos(\omega t-\pi )={\frac {\hat {i}}{\omega C}}\sin(\omega t-\pi +{\frac {\pi }{2}})={\frac {\hat {i}}{\omega C}}\sin(\omega t-{\frac {\pi }{2}})$

Aus den Phasen von i_C(t) und u_i(t) folgt, dass der Strom der Spannung um π/2 bzw. 90° vorauseilt bzw. die Spannung dem Strom entsprechend nacheilt:

$\varphi _{i}=\varphi _{u}+{\frac {\pi }{2}}\Leftrightarrow \varphi _{u}=\varphi _{i}-{\frac {\pi }{2}}$

<BILD>

Damit folgt die Formulierung:

$i_{C}(t)=C{\hat {u}}\omega \cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})$

$u_{C}(t)={\frac {\hat {i}}{\omega C}}\sin(\omega t+\varphi _{u})$

Um weitere Zusammenhänge erkennen zu können, werden zwei weitere Substitutionen durchgeführt:

$i_{C}(t)={\hat {i}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})$  mit  ${\hat {i}}=\omega C{\hat {u}}$

$u_{C}(t)={\hat {u}}\cdot sin(\omega t+\varphi _{u})$  mit  ${\hat {u}}={\frac {\hat {i}}{\omega C}}$

An den Termen zur Bestimmung der Spitzenwerte fällt auf, dass î und û über den Term ωC verbunden werden. In der Anlehnung an das ohmsche Gesetz U = R·I kann geschrieben werden:

${\hat {i}}={\frac {\hat {u}}{X_{C}}}$  mit  $X_{C}={\frac {1}{\omega C}}$

${\hat {u}}=X_{C}\cdot {\hat {i}}$  mit  $X_{C}={\frac {1}{\omega C}}$

X_C wird als "kapazitiver Blindwiderstand" bezeichnet:

$X_{C}={\frac {1}{\omega C}}={\frac {1}{2\pi fC}}$

Der kapazitive Blindwiderstand sinkt mit steigender Frequenz der Wechselspannung f.

Weil

$U_{\text{Eff}}={\frac {\hat {u}}{\sqrt {2}}}$  und  $I_{\text{Eff}}={\frac {\hat {i}}{\sqrt {2}}}$

verbindet der kapazitive Blindwiderstand auch Effektivwerte.

Das Problem des Blindwiderstandes ist, dass die Information über die Phasenverschiebung zwischen U und I nicht enthalten ist.

Durch die Phasendifferenz von 90° zwischen Strom und Spannung an der Kapazität bzw. dem Blindwiderstand wird die Leistung, welche über ihm abfällt, nicht in Verlustleistung bzw. Wärme umgesetzt. Weiter macht es der Phasenunterschied unmöglich, Spannungen, Ströme, Leistungen oder Widerstandswerte an bzw. von Wirk- und Blindwiderständen einfach zu addieren, wie man es von ohmschen Widerständen gewohnt ist.

Um die Phasenverschiebung zu berücksichtigen, rechnet man entweder mit Hilfe von Zeigerdiagrammen oder komplexen Größen.

Da eine ausführliche Einführung in diese Berechnungsmethoden sehr umfangreich ist, soll an dieser Stelle nur eine kurze Übersicht zu den direkt mit dem Kondensator in Verbindung stehenden Teilen geboten werden.

Zeigerdiagramme

Zeigerdiagramm einer Kapazität

$\varphi =-90^{\circ }$

$I={\frac {U}{X_{C}}}$

$X_{C}={\frac {1}{\omega C}}$

Elektrische Polarisation

Da jeder Stoff aus Ladungsträgern besteht, kann er ohne Entfernung oder Zugabe von Ladungsträgern durch Verschiebung der ohnehin vorhandenen Ladungsträger gegeneinander polarisiert werden. Atome, Moleküle und Körper können damit so wie Teilchen wirken, die auf der einen Seite positiv und der anderen negativ geladen sind.

Um die dazu nötige Ladungsverschiebung zu bewerkstelligen, gibt es prinzipiell mehrere Ansätze:

• Dielektrische Polarisation
• Piezoelektrische Polarisation
• Pyroelektrische Polarisation
• Ferroelektrische Polarisation

Dielektrische Polarisation

Bringt man einen Isolator - in diesem Zusammenhang als "Dielektrikum" bezeichnet - in ein elektrisches Feld wie z.B. das zwischen zwei Kondensatorplatten, so beeinflusst es den Isolator und darüber die Kapazität.

Das Dielektrikum wird mehr oder weniger stark polarisiert: Auf mikroskopischer Ebene werden normalerweise gleich verteilte Ladungen so verschoben, dass der Körper nach außen elektrisch nicht mehr neutral erscheint. Dabei bleibt die Summe der Ladungsträger im Körper gleich, d.h. es werden weder Ladungsträger zu- noch abgeführt.

An dieser Stelle sollen drei entscheidende Polarisationseffekte erläutert werden: Orientierungs-, Ionen- und Elektronenpolarisation, wobei Ionen- und Elektronenpolarisation zu den Verschiebungspolarisationen zusammengefasst werden:

Arten der elektrischen Polarisation

Diese Polarisationsmechanismen können gleichzeitig auftreten bzw. überlagern sich. Die Zusammenhänge können erst mit dem grundlegenden Verständnis der Begriffe erläutert werden.

Orientierungspolarisation

Manche Stoffe bestehen aus permanenten elektrischen Dipolen. Ein prominentes Beispiel ist Wasser (H₂O):

Wassermolekül

Das Sauerstoffatom hat eine höhere Elektronegativität als die Wasserstoffatome. Daher halten sich die Elektronen statistisch eher in der Nähe des Sauerstoffatoms auf, was nach außen als Überschuss negativer Ladungsträger auf der Seite des Wasserstoffatoms erscheint. Das Molekül wirkt daher wie ein permanenter elektrischer Dipol.

Solche Dipole sind ohne elektrisches Erregerfeld rein zufällig ausgerichtet und bewegen sich aufgrund der Temperatur im Raum. Damit erscheint der Stoff bzw. Körper nach außen elektrisch neutral. In einem elektrischen Feld werden sie sich jedoch mit zunehmender Feldstärke immer mehr nach diesem ausrichten; d.h. sie bewegen sich immer noch aufgrund der Temperatur, sind aber statistisch öfter nach dem äußeren elektrischen Feld ausgerichtet. Die Teilchen erhalten eine Art "Vorzugsausrichtung".

Die Temperaturbewegung der Moleküle wirkt der Ausrichtung entgegen, weshalb der Polarisationseffekt mit zunehmender Temperatur schwächer wird.

Ionenpolarisation

Durch ein elektrisches Erregerfeld können Kationen (pos. geladene Atome) und Anionen (neg. geladene Atome) in einer Gitter-Struktur gegeneinander verschoben werden:

Gitterstruktur

Gitterstruktur in elektrischem Feld

Mit steigender Stärke des elektrischen Feldes werden natürlich die Verschiebung und die damit verbundene Polarisation stärker.

Diese Verschiebung ist jedoch auch abhängig von den Kräften zwischen den Atomen. Dehnt sich das Gitter aufgrund steigender Temperatur aus, so können die Atome leichter gegeneinander verschoben werden. Daraus folgt, dass die Ionenpolarisation mit steigender Temperatur immer stärker wird.

Die Ionenpolarisation ist jedoch wesentlich schwächer als die Orientierungspolarisation.

Elektronenpolarisation

Bei jedem Atom werden sich der positiv geladene Kern und die negativen Elektronen in der Hülle in einem elektrischen Feld eine Winzigkeit gegeneinander verschieben. Nach außen wirkt das einzelne Atom dann ein klein wenig elektrisch geladen:

Atom: Kern und Elektronenhülle

Atom im elektrischen Feld

Normalerweise ist dieser Effekt so schwach, dass er von allen anderen Polarisationsarten komplett "verdeckt" wird. Es wurden aber spezielle Materialien entwickelt, bei welchen der einzige Polarisationseffekt eine relativ stark ausgeprägte Elektronenpolarisation ist.

Da die Temperaturbewegung der Teilchen in diesem Maßstab so gut wie keine Rolle spielt, ist die Elektronenpolarisation weitestgehend temperaturunabhängig.

Wirkung auf Erregerfeld und Kapazität

Die Wirkung der Polarisationseffekte ist prinzipiell die gleiche:

Elektrisches polarisiertes Dielektrikum

Betrachtet das polarisierte Material, so werden sich die elektrischen Wirkungen im Inneren gegenseitig kompensieren. Nur an den Rändern nach außen entstehen offensichtlich nach außen wirksame Ladungen.

Elektrisches Feld mit Dielektrikum

Die Randladungen wirken wie zwei schwach geladene Kondensatorplatten. Das elektrisch polarisierte Dielektrikum erzeugt also ein elektrisches Feld, welches dem Erregerfeld entgegengerichtet ist. Das Erregerfeld ist dabei wesentlich stärker als das Feld des polarisierten Dielektrikums.

Interessant ist die Konsequenz für das Erregerfeld - also das elektrische Feld im Kondensator: Da sich die Felder überlagern, wird das ursprüngliche Feld E₀ zwischen den Kondensatorplatten geschwächt. Da aber nach wie vor die Beziehung E = U/d gelten muss, sinkt die Spannung U mit der Feldstärke E. Weiter ist C = Q/U, weshalb die Kapazität zum Erfüllen dieser Gleichung größer wird.

Ein Problem entsteht, wenn man einen Kondensator ständig umlädt: Das Polarisieren bzw. Umpolarisieren führt zu Reibung und damit zur Erwärmung des Kondensators. Je schneller und stärker die Umladung erfolgt, desto wärmer wird er.

Die oben dargestellten Abhängigkeiten sind jedoch nur einfache Beispiele. Es gibt eine weitere Vielzahl von Effekten, woraus sich die unterschiedlichsten Temperatur- und Frequenzverhalten von Dielektrika ergeben. Das Dielektrikum technischer Kondensatoren ist der wesentliche Faktor für deren Kapazität, die folglich in unterschiedlicher Weise temperatur- und frequenzabhängig ist.

Kennwerte

Kennwert Zeichen Einheit

• Kapazität C F (Farad)
• ESR

 (engl. Equivalent Series Resistance)

• ESL

 (engl. Equivalent Series Inductance L)

Kondensatoren mit festen Kapazitäten

Kondensatoren mit festen Kapazitäten werden als "Festkondensatoren" bezeichnet. Zu deren Klassifizierung werden unterschiedliche Merkmale herangezogen: Man unterscheidet sie nach ihrem Dielektrikum und dem Verwendungszweck. Von Typen eines Dielektrikums gibt es möglicherweise mehrere Formen des mechanischen Aufbaus. Für viele Standardanwendungen gibt es spezielle Kondensatoren, welche genau auf die Anforderungen der Anwendung zugeschnitten sind. Sie werden daher unter anwendungsbezogenen Namen geführt.

Zuerst sollen Kondensatoren nach ihrem Dielektrikum behandelt werden. Danach wird auf Kondensatoren für spezielle Anwendungen eingegangen. Es gibt jedoch derart viele Bauformen nebst Spezial- und Sonderbauteilen, dass die folgenden Darstellungen auf keinen Fall vollständig sein können.

Kondensatoren nach Dielektrikum

Keramik-Kondensatoren

Man unterscheidet nach Dielektrikum und mechanischem Aufbau: Nach dem Dielektrikum unterscheidet man Typen bzw. Klassen 1, 2 und 3, welche hauptsächlich als Scheiben- und Vielschichtkondensatoren gefertigt werden. Rohr- und Durchführungskondensatoren sind Sonderbauformen für besondere Anwendungen.

Für diese Klasse von Kondensatoren werden Oxidkeramiken als Grundlage für das Dielektrikum verwendet.

Klasse 1

Das klassische Ausgangsmaterial für das keramische Dielektrikum ist Titandioxid (TiO₂), welches in seiner Kristallform als "Rutil" bezeichnet wird. In Kombination mit anderen Stoffen hat man chemische Systeme gefunden, durch welche sich die Eigenschaften mit Hilfe von weiteren Zuschlägen, Hilfsstoffen und spezieller Produktionsprozesse sehr gut einstellen lassen. Diese Keramiken gehören typischerweise der Werkstoffgruppe KER 3XX an.

Typisch für Keramikkondensatoren der Klasse 1 ist eine weitestgehend lineare Abhängigkeit der Kapazität von der Temperatur, welche über Werkstoffmischung und Fertigungsprozess festgelegt wird. Daher wird die Abhängigkeit der Temperatur mit einem Temperaturkoeffizienten beschrieben.

Weitere wichtige Merkmale sind ein geringer Verlustfaktor, ausgezeichnete HF-Eigenschaften und so gut wie keine Qualitätsverluste durch Alterung des Bauteils. Insgesamt handelt es sich um sehr hochwertige bzw. genaue Kapazitäten. Deshalb werden diese Kondensatoren auch mit sehr geringen Toleranzen hergestellt.

Hersteller

Vishay: www.vishay.com

WIMA: www.wima.de

PANASONIC: www.panasonic-industrial.com

AVX: www.avxcorp.com

KEMET: www.kemet.com

MURATA: www.murata.com

SAMWHA: www.samwha.com

ARCOTRONICS: www.arcotronics.com

MARUWA: www.maruwa-g.com

MATSUO: www.matsuoelectronics.com

STELCO: www.stelco.de

JOHANSON DIELECTRICS: www.johansondielectrics.com

Normen

Folgende Organisationen haben Normen im Zusammenhang mit Kondensatoren erlassen oder stehen direkt mit ihnen in Zusammenhang:

• CECC (CENELEC Electronic Components Committee)
  • CENELEC Electronic Components Committee
  • European Committee for Electrotechnical Standardization
  • www.cenelec.org
• IEC
  • International Electrotechnical Commission
  • www.iec.ch
• DIN
  • Deutsches Institut für Normung e.V.
  • www.din.de
• VDE
  • Verband der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik e.V.
  • www.vde.de
• DKE
  • Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik im DIN und VDE
  • Die DKE ist die deutsche nationale Organisation für die Erarbeitung von Normen und Sicherheitsbestimmungen in den Bereichen Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik. Sie ist ein Organ von DIN und VDE und vertritt Deutschland als nationale Normungsorganisation in IEC und CECC.
  • Die vom DKE erarbeiteten elektrotechnischen Sicherheitsnormen bilden als VDE-Bestimmungen gleichzeitig das VDE-Vorschriftenwerk.
  • www.dke.de

Leider sind die Unterlagen zu den Standards kostenpflichtig. Sie können jedoch an verschiedenen Stellen (u.a. Bibliotheken von Universitäten und Fachhochschulen) eingesehen werden. Obwohl für den Praktiker relativ uninteressant, sollen sie darum nicht unerwähnt bleiben, um im Zweifelsfall schnell recherchieren zu können. Hier ein grober Überblick:

• IEC 60384
• IEC 60324 Ed. 1.0
  Ceramic dielectric capacitors Type 3
• CECC 30 000
  Generic specification: Fixed capacitors
• CECC 30 600
  Sectional specification: Fixed ceramic capacitors, type 1
• CECC 30 700
  Sectional specification: Fixed capacitors with ceramic dielectric, class 2
• CECC 32 100
  Sectional specification: Multilayer ceramic chip capacitors
• DIN 45910

Übersetzungen

capacitor(s) - Kondensator(en)

titanium dioxide - Titandioxid (TiO₂)

Einstellbare Kondensatoren

verschiedene einstellbare Kondensatoren

Auch Drehko genannt.

Im Prinzip zwei oder mehr Platten, die gegeneinander gedreht werden können. So wird die Fläche verändert, und damit auch die Kapazität.