Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf schiefer Ebene mit Lagrangen Multiplikatoren

Teilchen auf schiefer Ebene mit Lagrangen Multiplikatoren

Berechne mithilfe der Methode der Lagrangen Multiplikatoren, der Lagrange-Gleichungen 1. Art, die Bewegungsgleichung des Teilchens auf der schiefen Ebene und die Zwangskräfte des Systems.

Lösungshinweise

Für die Lösung der Aufgabe müssen 3N+s Gleichungen aufgestellt werden: Zum einen die Zwangsbedingungen $f_{s}$ des Systems, und die daraus folgenden Lagrange Gleichungen 1. Art.

Aufstellung der Gleichungen

Die Zwangsbedingungen des Systems:

• (1.) $f_{1}=0=x\cdot \sin(\alpha )-y\cdot \cos(\alpha )$
• (2.) $f_{2}=0=z$

Die sich ergebenden Lagrangegleichungen 1. Art ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}mr_{i}={\vec {F_{i}}}+{\vec {F_{Zw_{i}}}}={\vec {F_{i}}}+\lambda _{s}\sum _{i=1}^{N}{\vec {\nabla }}f_{s}$ :

• (3.) $m{\ddot {r}}_{x}=0+\lambda _{1}{\vec {\nabla }}_{x}f_{1}=0+\lambda _{1}\cdot \sin(\alpha )$
• (4.) $m{\ddot {r}}_{y}={\vec {F}}_{G}+\lambda _{1}{\vec {\nabla }}_{y}f_{1}=mg\cdot {\vec {e}}_{y}-\lambda _{1}\cdot \cos(\alpha )$
• (5.) $m{\ddot {r}}_{z}=0+\lambda _{2}{\vec {\nabla }}_{z}f_{2}=0+\lambda _{2}\cdot {\vec {e}}_{z}=\lambda _{2}$

Bestimmen der Unbekannten

Mithilfe dieser Gleichungen bestimmen wir nun die Unbekannten des Systems $x(t),y(t),z(t),\lambda _{1},\lambda _{2}$ :

Berechnen von $\lambda _{2}$ mit Gleichung 2. und 5.:

${\begin{aligned}&z(t)=0\rightarrow {\ddot {z}}(t)=0\\\rightarrow &m{\ddot {z}}=0=\lambda _{2}\end{aligned}}$

Berechnen von $\lambda _{1}$ mit Gleichung 3. und 4.:

Wir multiplizieren: $3.\cdot \sin(\alpha )-4.\cdot \cos(\alpha )$

${\begin{aligned}&m\cdot ({\ddot {x}}\sin(\alpha )-{\ddot {y}}\cos(\alpha ))=\lambda _{1}\cdot \sin ^{2}(\alpha )+\lambda _{1}\cdot \cos ^{2}(\alpha )-m\cdot g\cdot \cos(\alpha )\Longrightarrow &\lambda _{1}=m\cdot (g\cdot \cos(\alpha )+{\ddot {x}}\sin(\alpha )-{\ddot {y}}\cos(\alpha ))\end{aligned}}$

Mit Gleichung 1. kann gezeigt werden:

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x\cdot \sin(\alpha )-y\cdot \cos(\alpha )={\ddot {x}}\sin(\alpha )-{\ddot {y}}\cos(\alpha )=0$

Also: $\lambda _{1}=mg\cdot \cos(\alpha )$

So lässt sich die Zwangskraft berechnen: ${\vec {F_{Zw_{i}}}}=\lambda _{s}\sum _{i=1}^{N}{\vec {\nabla }}f_{s}=mg\cdot \cos(\alpha ){\begin{array}{ccc}\sin(\alpha )\\\cos(\alpha )\\0\end{array}}$ $\Longrightarrow |F_{ZW}|=-mg\cdot \cos(\alpha )$

Berechnen der Bewegungsgleichungen mit Gleichungen 3. und 4.

${\begin{aligned}&3.\cdot \cos(\alpha )+4.\cdot \sin(\alpha )\\\Rightarrow &m({\ddot {x}}\cos(\alpha )+{\ddot {y}}\sin(\alpha ))=mg\cdot \sin(\alpha )\end{aligned}}$

Wir führen eine neue Variable $b=x\cdot \cos(\alpha )+y\cdot \sin(\alpha )\rightarrow {\ddot {b}}={\ddot {x}}\cdot \cos(\alpha )+{\ddot {y}}\cdot \sin(\alpha )$ ein.

$\Rightarrow {\ddot {b}}=g\cdot \sin(\alpha )$

Lösung der DGL 2. Ordnung ergibt: $b(t)=b_{0}(t=0)+{\ddot {b}}_{0}(t=0)\cdot t-{\frac {1}{2}}g\sin(\alpha )t^{2}$ Wie jede DGL, ist diese erst durch die 2 Randbedingungen $b_{0}(t=0)$ und ${\ddot {b}}_{0}(t=0)$ bestimmt. Setzen wir für $b(t)$ wieder die ursprünglichen Koordinaten, können wir Gleichung 1. nutzen, um die Gleichung noch nach x oder y aufzulösen.