Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf schiefer Ebene mit Lagrangen Multiplikatoren

Teilchen auf schiefer Ebene mit Lagrangen MultiplikatorenBearbeiten

Berechne mithilfe der Methode der Lagrangen Multiplikatoren, der Lagrange-Gleichungen 1. Art, die Bewegungsgleichung des Teilchens auf der schiefen Ebene und die Zwangskräfte des Systems.

LösungshinweiseBearbeiten

Für die Lösung der Aufgabe müssen 3N+s Gleichungen aufgestellt werden: Zum einen die Zwangsbedingungen   des Systems, und die daraus folgenden Lagrange Gleichungen 1. Art.

Aufstellung der GleichungenBearbeiten

Die Zwangsbedingungen des Systems:

  • (1.)  
  • (2.)  

Die sich ergebenden Lagrangegleichungen 1. Art   :

  • (3.)  
  • (4.)  
  • (5.)  

Bestimmen der UnbekanntenBearbeiten

Mithilfe dieser Gleichungen bestimmen wir nun die Unbekannten des Systems   :

Berechnen von   mit Gleichung 2. und 5.:

 

Berechnen von   mit Gleichung 3. und 4.:

Wir multiplizieren:  

 

Mit Gleichung 1. kann gezeigt werden:

 

Also:  

So lässt sich die Zwangskraft berechnen:    

Berechnen der Bewegungsgleichungen mit Gleichungen 3. und 4.

 

Wir führen eine neue Variable   ein.

 

Lösung der DGL 2. Ordnung ergibt:   Wie jede DGL, ist diese erst durch die 2 Randbedingungen   und   bestimmt. Setzen wir für   wieder die ursprünglichen Koordinaten, können wir Gleichung 1. nutzen, um die Gleichung noch nach x oder y aufzulösen.