Aufgabensammlung Physik: Lagrange Bewegungsgleichungen eines sphärischen Pendels

Bewegungsgleichung einer freien Teilchens mit der Lagrange GleichungBearbeiten

Ein Pendel bewege sich im festen Abstand   in der der x,y,z-Ebene.

 
Skizze eines sphärischen Pendels

Berechne die Bewegungsgleichung eines sphärischen Pendels, mithilfe der Lagrangen-Bewegungsgleichung.


Aufstellen der Lagrangen-BewegungsgleichungenBearbeiten

Das System hat eine Zwangsbedingung:

 

Wir finden daher   generalisierte Koordinaten.

Da sich das Teilchen auf einer Kugeloberfläche mit dem festen Abstand   vom Nullpunkt.

Daher wählt man als generalisierte Koordinaten die beiden Winkel   und  , und schreibt   in Kugelkoordinaten:

 

Nun stellt man die kinetische Energie als Funktion von  ,   ,   und   dar.

 


Nebenrechnungen

Berechne  

 

 
 
sphärisches Pendel mit dem Winkel  


 
 
 

Die potentielle Energie wird wie folgt in generalisierten Koordinaten ausgedrückt:

 

Die Lagrange Funktion lautet also:

 

Berechnen der generalisierten BewegungsgleichnungenBearbeiten

Berechnet man nun also die Lagrangefunktion, so ergeben sich daraus die generalisierten Bewegungsgleichungen:

 

  (1) - z-Komponente des Drehimpulses  , die Winkelgeschwindigkeit   bleibt konstant. Wird   kleiner, so muss   größer werden, um den Term konstant zu halten. Da der Ausdruck konstant ist, kann das Pendel, in diesem reibungsfreien Fall niemals den z-Nullpunkt durchlaufen - der Drehimpuls bleibt also erhalten.

 

Wir formen die z-Komponente des Drehimpulses nach   so um, das man sie in die  -Bewegungsgleichung einsetzen kann, sodass diese keine  -Abhängigkeit mehr hat.

 
 
 

Diese Differentialgleichung 2ter Ordnung könnte nun z. B. numerisch per Computer gelöst werden.

Bestimmt man so  , so kann damit durch einsetzen in Gleichung (1) auch   bestimmt werden, sodass so der genaue Ortsvektor des Teilchens zu jedem Zeitpunkt   bestimmt werden kann.