Aufgabensammlung Physik: Lagrange Bewegungsgleichungen eines sphärischen Pendels
Bewegungsgleichung einer freien Teilchens mit der Lagrange GleichungBearbeiten
Ein Pendel bewege sich im festen Abstand in der der x,y,z-Ebene.
Skizze eines sphärischen Pendels
Berechne die Bewegungsgleichung eines sphärischen Pendels, mithilfe der Lagrangen-Bewegungsgleichung.
Aufstellen der Lagrangen-BewegungsgleichungenBearbeiten
Das System hat eine Zwangsbedingung:
Wir finden daher generalisierte Koordinaten.
Da sich das Teilchen auf einer Kugeloberfläche mit dem festen Abstand vom Nullpunkt.
Daher wählt man als generalisierte Koordinaten die beiden Winkel und , und schreibt in Kugelkoordinaten:
Nun stellt man die kinetische Energie als Funktion von , , und dar.
Nebenrechnungen
Berechne
sphärisches Pendel mit dem Winkel
Die potentielle Energie wird wie folgt in generalisierten Koordinaten ausgedrückt:
Die Lagrange Funktion lautet also:
Berechnen der generalisierten BewegungsgleichnungenBearbeiten
Berechnet man nun also die Lagrangefunktion, so ergeben sich daraus die generalisierten Bewegungsgleichungen:
(1) - z-Komponente des Drehimpulses , die Winkelgeschwindigkeit bleibt konstant. Wird kleiner, so muss größer werden, um den Term konstant zu halten. Da der Ausdruck konstant ist, kann das Pendel, in diesem reibungsfreien Fall niemals den z-Nullpunkt durchlaufen - der Drehimpuls bleibt also erhalten.
Wir formen die z-Komponente des Drehimpulses nach so um, das man sie in die -Bewegungsgleichung einsetzen kann, sodass diese keine -Abhängigkeit mehr hat.
Diese Differentialgleichung 2ter Ordnung könnte nun z. B. numerisch per Computer gelöst werden.
Bestimmt man so , so kann damit durch einsetzen in Gleichung (1) auch bestimmt werden, sodass so der genaue Ortsvektor des Teilchens zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden kann.