Aufgabensammlung Physik: Lagrange-Bewegungsgleichung der Zwangsbewegung eines Masseteilchens

Ein Körper der Masse m fällt entlang einer Kurve mit der Gleichung z = f(x) im Schwerefeld der Erde. Man bestimme (ohne Beachtung der Reibung) die Bewegungsgleichung des Körpers.

Es gilt: $z=f(x)$

und wegen ${\dot {z}}={\frac {d}{dt}}z={\frac {dz}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$

${\dot {z}}=f'(x)\cdot {\dot {x}}$

Aufstellen der Lagrangefunktion

1. Kinetische Energie:

$T={\frac {1}{2}}m\cdot (({\dot {x}})^{2}+({\dot {z}})^{2})$

$T={\frac {1}{2}}m\cdot (({\dot {x}})^{2}+(f'(x))^{2}\cdot ({\dot {x}})^{2})$

$T={\frac {1}{2}}m\cdot ({\dot {x}})^{2}[1+(f'(x))^{2}]$

2. Lageenergie:

Bezeichnet g die Fallbeschleunigung, dann gilt:

$U=m\cdot g\ \cdot z$

$U=m\cdot g\ \cdot f(x)$

3. Lagrangefunktion:

$L=T-U$

$L={\frac {1}{2}}m\cdot ({\dot {x}})^{2}[1+(f'(x))^{2}]-m\cdot g\ \cdot f(x)\qquad (1)$

Bewegungsgleichung ermitteln

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}$

1. ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\,$ ermitteln:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}({\frac {1}{2}}m\cdot ({\dot {x}})^{2}[1+(f'(x))^{2}])\qquad (Einsetzen\,aus\,(1)\,und\,{\frac {\partial U}{\partial {\dot {x}}}}=0)$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {d}{dt}}(m\cdot ({\dot {x}})\cdot [1+(f'(x))^{2}])$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m\cdot ({\ddot {x}})\cdot [1+(f'(x))^{2}]+2\cdot m\cdot ({\dot {x}})^{2}\cdot f'(x)\cdot f''(x)\qquad \,(Produkt-,Kettenregel\,und\,{\frac {d}{dt}}(f'(x))^{2}=2\cdot f'(x)\cdot {\frac {df'(x)}{dt}}=2\cdot f'(x)\cdot {\frac {df'(x)}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=2\cdot f'(x)\cdot f''(x)\cdot {\dot {x}})$

2. ${\frac {\partial L}{\partial x}}\,$ermitteln:

${\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {1}{2}}m\cdot ({\dot {x}})^{2}[1+(f'(x))^{2}]-m\cdot g\ \cdot f(x))$

${\frac {\partial L}{\partial x}}=m\cdot ({\dot {x}}^{2})\cdot f'(x)\cdot f''(x)-m\cdot g\ \cdot f'(x)$

3. Bewegungsgleichung mit Hilfe der Teilergebnisse aufstellen:

$m\cdot ({\ddot {x}})\cdot [1+(f'(x))^{2}]+2\cdot m\cdot ({\dot {x}})^{2}\cdot f'(x)\cdot f''(x)=m\cdot ({\dot {x}}^{2})\cdot f'(x)\cdot f''(x)-m\cdot g\ \cdot f'(x)$

$({\ddot {x}})\cdot [1+(f'(x))^{2}]+({\dot {x}})^{2}\cdot f'(x)\cdot f''(x)+g\ \cdot f'(x)=0\qquad (Division\,durch\,m\,und\,Zusammenfassen\,gleichartiger\,Terme)$

${\ddot {x}}+{\frac {({\dot {x}})^{2}\cdot f'(x)\cdot f''(x)}{1+(f'(x))^{2}}}+{\frac {g\ \cdot f'(x)}{1+(f'(x))^{2}}}=0\qquad (Division\,durch\,1+(f'(x))^{2})$

${\ddot {x}}+{\frac {({\dot {x}})^{2}}{2}}\cdot {\frac {d}{dx}}(ln(1+f'(x)^{2})+{\frac {g\cdot f'(x)}{1+f'(x)^{2}}}=0$