Aufgabensammlung Physik: Extinktion durch optische Filter

Aufgabe

Du machst ein Experiment mit einem Helium-Neon-Laser, der Licht mit Wellenlänge $\lambda =633\,\mathrm {nm}$ emittiert. Um die Intensität des Lasers zu minimieren möchtest du einen optischen Filter verwenden. Dieser optische Filter besteht aus Glas und ist gleichmäßig mit Farbstoffpartikel versetzt, die für die Absorption des elektromagnetischen Lichts verantwortlich sind. Für diesen optischen Filter entnimmst du aus dem Datenblatt des Herstellers, dass der Filter für die Wellenlänge des Lasers ein Reintransmissionsgrad von $73\%$ für die Referenzdicke $d_{R}=2\,\mathrm {mm}$ aufweist (Der Reintransmissionsgrad ist der Transmissionsgrad bei Vernachlässigung der Reflexionsverluste an den beiden Filteroberflächen). Der Realteil vom Brechungsindex des optischen Filters beträgt $n_{R}=1,51$.

1. Wie dick muss der optische Filter sein, damit der Reintransmissionsgrad $50\%$ beträgt?
2. Wie groß ist der Reflexionsgrad an den beiden Filteroberflächen?
3. Wie dick muss der optische Filter sein, damit der Transmissionsgrad bei Berücksichtigung der Reflexionsverluste $50\%$ beträgt?
4. Um welchen Faktor muss die Konzentration der Farbstoffpartikel im Filter erhöht werden, damit der Reintransmissionsgrad bereits für die Referenzdicke $50\%$ ist?

Lösung zur 1. Teilaufgabe

Der Reintransmissionsgrad ist $e^{-a\cdot d}$, wobei $a$ der Absorptionskoeffizient und $d$ die Dicke des optischen Filters ist. Dementsprechend haben wir folgende Formel gegeben:

$0,73=e^{-a\cdot d_{R}}$

Gesucht ist die Dicke $d$, so dass

$0,5=e^{-a\cdot d}$

ist. Durch Umformung der Gleichung $0,73=e^{-a\cdot d_{R}}$ können wir $a$ berechnen:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&0,73&=e^{-a\cdot d_{R}}\\\Rightarrow \ &\ln(0,73)&=-a\cdot d_{R}\\\Rightarrow \ &a&=-{\frac {\ln(0,73)}{d_{R}}}\end{array}}\end{aligned}}$

Nun formen wir $0,5=e^{-a\cdot d}$ nach $d$ um und setzen die oben gefundene Formel für $a$ ein:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&0,5&=e^{-a\cdot d}\\\Rightarrow \ &-a\cdot d&=\ln(0,5)\\\Rightarrow \ &d&=-{\frac {\ln(0,5)}{a}}\\[5px]&&\quad \left\downarrow \ a=-{\frac {\ln(0,73)}{d_{R}}}\right.\\[5px]\Rightarrow &d&={\frac {\ln(0,5)}{\ln(0,73)}}\cdot d_{R}\\&&={\frac {\ln(0,5)}{\ln(0,73)}}\cdot 2\,\mathrm {mm} \\&&=4,4\,\mathrm {mm} \end{array}}\end{aligned}}$

Der optische Filter muss also eine Dicke von $4,4\,\mathrm {mm}$ aufweisen, damit der Reintransmissionsgrad $50\%$ ist.

Lösung der 2. Teilaufgabe

Für die Berechnung der Reflexionsverluste muss berücksichtigt werden, dass der optische Filter Licht absorbiert, also einen komplexen Brechungsindex besitzt. Jedoch ist nur der Realteil des Brechungsindex bekannt.

Berechnung des Imaginärteils des Brechungsindexes

Den Absorptionskoeffizienten erhalten wir, indem wir die Formel $0,73=e^{-a\cdot d_{R}}$ nach $a$ umformen:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&0,73&=e^{-a\cdot d_{R}}\\\Rightarrow \ &\ln(0,73)&=-a\cdot d_{R}\\\Rightarrow \ &a&=-{\frac {\ln(0,73)}{d_{R}}}\\&&=-{\frac {\ln(0,73)}{2\,\mathrm {mm} }}\\&&=0,157\,\mathrm {mm} ^{-1}\end{array}}\end{aligned}}$

Es ist nun $a=2n_{I}{\frac {\omega _{F}}{c}}$. Dabei ist $\omega _{F}$ die Kreisfrequenz der elektromagnetischen Welle im optischen Filter. Diese ist jedoch gleich der Kreisfrequenz $\omega$, die die elektromagnetische Welle in Luft besitzt (Bei Übergangen von einem Medium ins andere, ändert sich ihre Frequenz nicht). Für elektromagnetische Wellen in Luft gilt ${\frac {\omega }{c}}=k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ (Brechungsindex von Luft ist 1). Damit ist:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&a&=2n_{I}{\frac {\omega _{F}}{c}}\\[5px]&&\quad \left\downarrow \ \omega _{F}=\omega \right.\\[5px]&a&=2n_{I}{\frac {\omega }{c}}\\[5px]&&\quad \left\downarrow \ {\frac {\omega }{c}}={\frac {2\pi }{\lambda }}\right.\\[5px]&a&=n_{I}{\frac {4\pi }{\lambda }}\\[2px]&n_{I}&={\frac {a\cdot \lambda }{4\pi }}\\[2px]&&={\frac {0,157\cdot 10^{3}\,\mathrm {m} ^{-1}\cdot 633\cdot 10^{-9}\mathrm {nm} }{4\pi }}\\[2px]&&=7,91\cdot 10^{-6}\\\end{array}}\end{aligned}}$

Wieso kann der imaginäre Brechungsindex vernachlässigt werden?

Der Reflexionsgrad bei komplexen Brechungsindizes ist nach den Fresnelschen Formeln gleich

${\begin{aligned}R&=\left({\frac {1-n_{R}+n_{I}\cdot {\rm {i}}}{1+n_{R}+n_{I}\cdot {\rm {i}}}}\right)\cdot \left({\frac {1-n_{R}-n_{I}\cdot {\rm {i}}}{1+n_{R}-n_{I}\cdot {\rm {i}}}}\right)\\&={\frac {(1-n_{R})^{2}+n_{I}^{2}}{(1+n_{R})^{2}+n_{I}^{2}}}\end{aligned}}$

Da der Realteil des Brechungsindexes $n_{R}=1,51$ um 6 Größenordnungen größer ist als der Imaginärteil $n_{I}=7,91\cdot 10^{-6}$, kann dieser vernachlässigt werden. Gleiches gilt für die Transmission.

Wie groß sind die Reflexionsverluste an den beiden Filteroberflächen?

Der Reflexionsgrad ist (der Imaginärteil wird vernachlässigt):

${\begin{aligned}R&=\left({\frac {1-n_{R}}{1+n_{R}}}\right)^{2}\\&=\left({\frac {1-1,51}{1+1,51}}\right)^{2}\\&=0,041\\&=4,1\%\end{aligned}}$

An beiden Oberflächen werden damit $4,1\%$ der an dieser Oberfläche einfallenden Lichtintensität zurück reflektiert. Der restliche Anteil wird transmittiert.

Lösung zur 3. Teilaufgabe

An der ersten Oberfläche werden $4,1\%$ der einfallenden Lichtintensität vom Laser zurück reflektiert und $100\%-4,1\%=95,9\%$ transmittiert.

Von den $95,9\%$ werden durch den Filter nur $95,9\%\cdot e^{-ad}$ transmittiert und der Rest wird durch den Filter absorbiert.

An der zweiten Filteroberfläche werden wieder $4,1\%$ von den $95,9\%\cdot e^{-ad}$ zurück reflektiert und dementsprechend $(100\%-4,1\%)\cdot 95,9\%\cdot e^{-ad}=(95,9\%)^{2}\cdot e^{-ad}$ der Ausgangsintensität werden durch den Filter insgesamt transmittiert. Nun soll dieser Transmissionsgrad $50\%$ und damit $50\%=(95,9\%)^{2}\cdot e^{-ad}$ sein. Durch Umformung nach $d$ erhalten wir ($a$ haben wir bereits in Teilaufgabe 2 berechnet):

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&50\%&=(95,9\%)^{2}\cdot e^{-a\cdot d}\\\Rightarrow \ &e^{-a\cdot d}&={\frac {50\%}{(95,1\%)^{2}}}\\\Rightarrow \ &-a\cdot d&=\ln \left({\frac {50\%}{(95,1\%)^{2}}}\right)\\\Rightarrow \ &d&=-{\frac {1}{a}}\cdot \ln \left({\frac {50\%}{(95,1\%)^{2}}}\right)\\&&=-{\frac {1}{0,157\,\mathrm {mm} ^{-1}}}\cdot \ln \left({\frac {0,5}{0,951^{2}}}\right)\\&&=3,8\,\mathrm {mm} \end{array}}\end{aligned}}$

Der optische Filter muss also eine Dicke von $3,8\,\mathrm {mm}$ aufweisen.

Lösung zur 4. Teilaufgabe

Der Absorptionsindex $a$ kann ausgedrückt werden durch $a=\gamma \cdot C$. Dabei ist $\gamma$ eine Konstante, die nur abhängig vom verwendeten Farbstoff ist und $C$ die Konzentration der Farbstoffpartikel in Glas (Achtung: $\gamma$ ist nicht der dekadische Extinktionskoeffizient $\epsilon$, der häufig in der Chemie verwendet wird. Es gilt aber $\gamma =\ln(10)\cdot \epsilon )$. Wenn also die Konzentration der Farbstoffpartikel um den Faktor $\alpha$ erhöht wird, so ändert sich auch der Absorptionskoeffizient um den Faktor $\alpha$. Der neue Reintransmissionsgrad ist dann

${\begin{aligned}T^{\prime }&=e^{-\gamma \cdot \alpha \cdot C\cdot d_{R}}\\&=\left(e^{-\gamma \cdot C\cdot d_{R}}\right)^{\alpha }\\&=0,73^{\alpha }\end{aligned}}$

Dieser neue Reintransmissionsgrad soll nun $50\%=0,5$ sein. Also

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&0,5&=0,73^{\alpha }\\\Rightarrow \ &\alpha &={\frac {\ln(0,5)}{\ln(0,73)}}\\&&=2,2\end{array}}\end{aligned}}$

Die Konzentration der Farbstoffpartikel muss also um den Faktor $2,2$ erhöht werden.