Aufgabensammlung Mathematik: Teilbarkeit durch 5

Teilbarkeit durch 5

Beweise, dass $n^{5}-n$ für $n\in \mathbb {N} _{0}$ durch 5 teilbar ist.

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{0}$ bewiesen werden soll:

$n^{5}-n$ ist durch 5 teilbar.

1. Induktionsanfang:

Für $n=0$ ist $0^{5}-0=0$. Da 0 durch jede Zahl teilbar ist, ist sie auch durch 5 teilbar und damit der Induktionsanfang bewiesen.

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$n^{5}-n$ ist durch 5 teilbar.

2b. Induktionsbehauptung:

$(n+1)^{5}-(n+1)$ ist durch 5 teilbar.

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Es gilt:

${\begin{aligned}(n+1)^{5}-(n+1)&=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1-n-1\\[5px]&=\underbrace {(n^{5}-n)} _{\text{durch 5 teilbar (IV)}}+\underbrace {5(n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+n)} _{\text{durch 5 teilbar}}\\\end{aligned}}$

Nun ist diese Summe durch 5 teilbar, wenn beide Summanden durch 5 teilbar sind. Dies gilt sichtlich für den rechten Summanden. Und nach Induktionsvoraussetzung ist auch der linke Summand durch fünf teilbar.