Aufgabensammlung Mathematik: Summenformel über ungerade Quadratzahlen

Summe über ungerade Quadratzahlen

Beweise, dass für $n\geq 1$ gilt:

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {n\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{3}}$

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {n\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{3}}$

1. Induktionsanfang:

$\sum _{k=1}^{1}(2k-1)^{2}=1^{2}=1={{1\cdot 1\cdot 3} \over 3}={{1\cdot (2\cdot 1-1)\cdot (2\cdot 1+1)} \over 3}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {n\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{3}}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}(2k-1)^{2}={\frac {(n+1)\cdot (2(n+1)-1)\cdot (2(n+1)+1)}{3}}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}(2k-1)^{2}&={\color {OliveGreen}\left(\sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}\right)}+(2n+2-1)^{2}\\[5px]&\qquad \quad {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }}}\\[5px]&={\color {OliveGreen}{\frac {n\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}{3}}}+(2n+1)^{2}\\[5px]&={\frac {n\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)+3(2n+1)^{2}}{3}}\\[5px]&={{(2n+1)\cdot (n\cdot (2n-1)+3(2n+1))} \over 3}\\[5px]&={{(2n+1)\cdot (2n^{2}-n+6n+3)} \over 3}\\[5px]&={{(2n+1)\cdot (2n^{2}+5n+3)} \over 3}\\[5px]&={{(2n+1)\cdot (2n^{2}+3n+2n+3)} \over 3}\\[5px]&={{(2n+1)\cdot (2n+3)\cdot (n+1)} \over 3}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (2(n+1)-1)\cdot (2(n+1)+1)} \over 3}\\[5px]\end{aligned}}$