Aufgabensammlung Mathematik: Summe über ungerade Zahlen

Summe über ungerade Zahlen

Beweise, dass für alle $n\geq 1$ gilt:

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$

Lösungsweg

Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare natürliche Zahl?

Der Induktionsanfang ist für $n=1$ zu führen. Hierfür lautet die zu beweisende Aussage:

${\color {Blue}\sum _{k=1}^{1}(2k-1)}={\color {OliveGreen}1^{2}}$

Die linke Seite der Summenformel ergibt:

${\color {Blue}\sum \limits _{k=1}^{1}(2k-1)}=2\cdot 1-1=1$

Die rechte Seite der Formel ergibt:

${\color {OliveGreen}1^{2}}=1\cdot 1=1$

Damit sind beide Seiten identisch und der Induktionsanfang bewiesen.

Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?

Induktionsvoraussetzung:

$\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$

Induktionsbehauptung:

$\sum \limits _{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^{2}$

Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?

Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:

${\begin{aligned}\sum \limits _{k=1}^{n+1}(2k-1)&=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)\right)+(2(n+1)-1)\\&={\color {Blue}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)\right)}+2n+1\\&\qquad \quad {\color {Blue}\downarrow {\text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }}}\\&={\color {Blue}n^{2}}+2n+1\end{aligned}}$

Damit lautet die zu beweisende Gleichung:

$n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$

Mit der ersten binomischen Formel hast du die obige Gleichung beweisen.

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$

1. Induktionsanfang:

$\sum \limits _{k=1}^{1}2\cdot 1-1=1=1^{2}=1$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\sum \limits _{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^{2}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\sum \limits _{k=1}^{n+1}(2k-1)&=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)\right)+(2(n+1)-1)\\&={\color {Blue}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)\right)}+2n+1\\&\qquad \quad {\color {Blue}\downarrow {\text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }}}\\&={\color {Blue}n^{2}}+2n+1\\&=(n+1)^{2}\end{aligned}}$