Aufgabensammlung Mathematik: Summe über Quadratzahlen

Summe über Quadratzahlen

Beweise, dass für   gilt:

 

Lösungsweg

Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare natürliche Zahl?

Der Induktionsanfang ist für   zu führen. Die linke Seite der Summenformel ergibt:

 

Die rechte Seite der Formel ergibt:

 
Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?

Induktionsvoraussetzung:

 

Induktionsbehauptung:

 
Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?

Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:

 

Damit lautet die zu beweisende Gleichung:

 
Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen, um die linke in die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung zu überführen.

Die notwendigen Termumformungen sind:

 

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für   bewiesen werden soll:

 

1. Induktionsanfang:

 

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

 

2b. Induktionsbehauptung:

 

2c. Beweis des Induktionsschritts: