Aufgabensammlung Mathematik: Metrische Räume

Metrische Räume

Die Distanzfunktion zwischen einer Menge und einem Punkt

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Die Distanz zwischen einem Punkt $x\in X$ und einer Menge $A\subseteq X$ sei definiert durch $\operatorname {dist} (x,A):=\inf _{a\in A}\{d(x,a)\}$. Beweise:

1. Die Funktion $\operatorname {dist} _{A}:X\rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto \operatorname {dist} (x,A)$ ist Lipschitz-stetig.
2. Ist $A$ abgeschlossen, dann gilt $x\in A\Leftrightarrow \operatorname {dist} (x,A)=0$