Aufgabensammlung Mathematik: Gleichmäßige Stetigkeit der Abstandsfunktion eines Punktes zu einer festen Menge

Gleichmäßige Stetigkeit der Abstandsfunktion eines Punktes zu einer festen Menge

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und sei $A$ eine nicht leere Teilmenge von $X$. Beweise, dass folgende Funktion gleichmäßig Stetig ist:

${\text{dist}}(\cdot ,A):X\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}:x\mapsto \inf \limits _{a\in A}\{d(x,a)\}$

Beweis

Behauptung 1: Für alle $x,y\in X$ und $a\in A$ ist $d(x,a)-d(y,a)\leq d(x,y)$ und $d(y,a)-d(x,a)\leq d(x,y)$.

Sei $x,y\in X$ und $a\in A$ beliebig. Nach der Dreiecksungleichung ist:

${\begin{aligned}{\begin{array}{llcl}&d(x,a)&\leq &d(x,y)+d(y,a)\\\Rightarrow \ &d(x,a)-d(y,a)&\leq &d(x,y)\end{array}}\end{aligned}}$

Analog ist:

${\begin{aligned}{\begin{array}{llcl}&d(y,a)&\leq &d(y,x)+d(x,a)\\\Rightarrow \ &d(y,a)-d(x,a)&\leq &d(y,x)\\\Rightarrow \ &d(y,a)-d(x,a)&\leq &d(x,y)\end{array}}\end{aligned}}$

Behauptung 2: Für alle $x,y\in X$ und $a\in A$ ist ${\text{dist}}(x,A)-d(y,a)\leq d(x,y)$ und ${\text{dist}}(y,A)-d(x,a)\leq d(x,y)$

Sei $x,y\in X$ und $a\in A$ beliebig. Es ist ${\text{dist}}(x,A)=\inf \limits _{{\tilde {a}}\in A}\{d(x,{\tilde {a}})\}\leq d(x,a)$ und analog ${\text{dist}}(y,A)\leq d(y,a)$. Damit ist

${\text{dist}}(x,A)-d(y,a)\leq d(x,a)-d(y,a){\overset {\text{Beh. 1}}{\leq }}d(x,y)$

und

${\text{dist}}(y,A)-d(x,a)\leq d(y,a)-d(x,a){\overset {\text{Beh. 1}}{\leq }}d(x,y)$

Behauptung 3: Für alle $x,y\in X$ ist ${\text{dist}}(x,A)-{\text{dist}}(y,A)\leq d(x,y)$ und ${\text{dist}}(y,A)-{\text{dist}}(x,A)\leq d(x,y)$

Wegen ${\text{dist}}(y,A)=\inf \limits _{{\tilde {a}}\in A}\{d(y,{\tilde {a}})\}$ gibt es eine Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\subset A$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }d(y,a_{n})={\text{dist}}(y,A)$. Weil für alle $n\in \mathbb {N}$ nach Behauptung 2 die Ungleichung ${\text{dist}}(x,A)-d(y,a_{n})\leq d(x,y)$ erfüllt ist, ist auch

${\text{dist}}(x,A)-{\text{dist}}(y,A)={\text{dist}}(x,A)-\lim \limits _{n\rightarrow \infty }d(y,a_{n})=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\text{dist}}(x,A)-d(y,a_{n})\right)\leq d(x,y)$

Analog kannst du ${\text{dist}}(y,A)-{\text{dist}}(x,A)\leq d(x,y)$ beweisen.

Behauptung 4: ${\text{dist}}(\cdot ,A)$ ist gleichmäßig stetig.

Nach Behauptung 3 ist ${\text{dist}}(x,A)-{\text{dist}}(y,A)\leq d(x,y)$ und ${\text{dist}}(y,A)-{\text{dist}}(x,A)\leq d(x,y)$. Aus diesen beiden Gleichungen folgt $\left|{\text{dist}}(x,A)-{\text{dist}}(y,A)\right|\leq d(x,y)$.

Sei nun $\epsilon >0$. Wähle $\delta =\epsilon$. Für alle $x,y\in X$ mit $d(x,y)<\delta =\epsilon$ gilt dann:

$\left|{\text{dist}}(x,A)-{\text{dist}}(y,A)\right|\leq d(x,y)<\epsilon$

Damit ist ${\text{dist}}(\cdot ,A)$ gleichmäßig stetig.