Aufgabensammlung Mathematik: Gesucht ist eine Relation auf IR,...

Gesucht ist eine Relation auf IR,...

..., welche reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist. Kann eine solche Suche überhaupt erfolgreich sein?

Lösung

Nehmen wir an, dass $R\subseteq \mathbb {R}$ eine solche Relation ist.

Schritt 1: Aus $xRy$ folgt $x=y$.

Sei $xRy$. Da $R$ symmetrisch ist, muss auch $yRx$ sein. Da $R$ außerdem antisymmetrisch ist, folgt $x=y$.

Schritt 2: Aus $x=y$ folgt $xRy$.

Sei $x=y$. Da $R$ reflexiv ist, folgt $xRy$ (Wegen Reflexivität ist $xRx$, woraus $xRy$ folgt, wenn man das zweite $x$ durch $y$ wegen $x=y$ ersetzt).

Schritt 3: $x=y$ ist die gesuchte Relation.

Aus Schritt 1 und 2 folgt $xRy\Leftrightarrow x=y$. Damit ist $x=y$ der einzig mögliche Kandidat für die gesuchte Relation. Gleichzeitig ist $x=y$ reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch und ist damit die gesuchte Relation.