Aufgabensammlung Mathematik: Der Raum beschränkter Funktionen

Der Raum beschränkter Funktionen

Seien $(D,d_{D})$ und $(Z,d_{Z})$ beliebige metrische Räume, wobei $Z$ ein vollständiger Raum ist. Sei $B(D,Z)$ die Menge aller beschränkter Funktionen von $D$ nach $Z$. Dabei ist eine Funktion $f:D\rightarrow Z$ genau dann beschränkt, wenn das Bild $f(D)$ beschränkt ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\sup \limits _{x,y\in D}\{d_{Z}(f(x),f(y))\}<\infty$ ist. Es ist also

$B(D,Z):=\left\{f:D\rightarrow Z\,:\,\sup \limits _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f(y))\right\}<\infty \right\}$

In diesem Projekt werden wir beweisen, dass $B(D,Z)$ unter der Metrik $d_{B}(f,g):=\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}$ ein vollständiger Raum ist.

B(D,Z) ist ein metrischer Raum

Zeige, dass die Abbildung $d_{B}:B(D,Z)\times B(D,Z)\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}:(f,g)\mapsto \sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}$ eine Metrik ist, dass also $B(D,Z)$ ausgestattet mit $d_{B}$ ein metrischer Raum ist.

Beweis

Behauptung 1: $d_{B}$ erfüllt die Axiome einer Metrik

Folgende drei Behauptungen beweisen, dass $d_{B}$ eine Metrik ist:

Behauptung 1.1: Es ist $f=g\Leftrightarrow d_{B}(f,g)=0$

Es ist

${\begin{aligned}&f=g\\\Leftrightarrow \ &\forall x\in D:f(x)=g(x)\\\Leftrightarrow \ &\forall x\in D:d_{Z}(f(x),g(x))=0\\\Leftrightarrow \ &\sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}=0\\\Leftrightarrow \ &d_{B}(f,g)=0\end{aligned}}$

Behauptung 1.2: Es ist $d_{B}(f,g)=d_{B}(g,f)$

Es ist

${\begin{aligned}d_{B}(f,g)&=\sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}\\&=\sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(g(x),f(x))\right\}\\&=d_{B}(g,f)\\\end{aligned}}$

Behauptung 1.3: Es ist $d_{B}(f,g)\leq d_{B}(f,h)+d_{B}(h,g)$

Es ist

${\begin{aligned}d_{B}(f,g)&=\sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}\\[5px]&\quad \left\downarrow \ d_{Z}(f(x),g(x))\leq d_{Z}(f(x),h(x))+d_{Z}(h(x),g(x))\right.\\[5px]&\leq \sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),h(x))+d_{Z}(h(x),g(x))\right\}\\[5px]&\quad \left\downarrow \ \sup \limits _{x\in D}\{\alpha (x)+\beta (x)\}\leq \sup \limits _{x\in D}\{\alpha (x)\}+\sup \limits _{x\in D}\{\beta (x)\}\right.\\[5px]&\leq \sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),h(x))\right\}+\sup \limits _{x\in D}\left\{d_{Z}(h(x),g(x))\right\}\\[5px]&=d_{B}(f,h)+d_{B}(h,g)\end{aligned}}$

Nun muss noch gezeigt werden, dass $d_{B}$ immer wohldefiniert ist, dass also $d_{B}(f,g)$ niemals unendlich werden kann.

Behauptung 2: $\forall f,g\in B(D,Z):d_{B}(f,g)<\infty$

Seien $f,g\in B(D,Z)$ beliebig.

${\begin{aligned}d_{B}(f,g)&=\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),g(x))\right\}\\[5px]&\quad \left\downarrow \ {\text{W}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{hle ein }}{\tilde {x}}\in D{\text{ beliebig und wende Dreiecksungleichung an}}\right.\\[5px]&\leq \sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f({\tilde {x}}))+d_{Z}(f({\tilde {x}}),g({\tilde {x}}))+d_{Z}(g({\tilde {x}}),g(x))\right\}\\[5px]&\leq \sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f({\tilde {x}}))\right\}+\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f({\tilde {x}}),g({\tilde {x}}))\right\}+\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(g({\tilde {x}}),g(x))\right\}\\[5px]&\quad \left\downarrow \ {\begin{array}{l}\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f({\tilde {x}}))\right\}<\infty {\text{, weil }}f{\text{ beschr}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{nkt ist}}\\[3px]\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f({\tilde {x}}),g({\tilde {x}}))\right\}<\infty {\text{, weil }}d_{Z}{\text{ eine Metrik ist}}\\[3px]\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(g({\tilde {x}}),g(x))\right\}<\infty {\text{, weil }}g{\text{ beschr}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{nkt ist}}\end{array}}\right.\\[5px]&<\infty \end{aligned}}$

B(D,Z) ist vollständig

Zeige, dass $B(D,Z)$ unter der Metrik $d_{B}$ vollständig ist.

Beweis

Sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchyfolge von Funktionen in $B(D,Z)$.

Behauptung 1: $\forall x\in D:(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }{\text{ ist eine Cauchyfolge}}$

Für alle $\epsilon >0$ existiert dann ein $N(\epsilon )\in \mathbb {N}$, so dass $d_{B}(f_{n},f_{m})=\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f_{n}(x),f_{m}(x))\right\}<\epsilon$ für alle $n,m\geq N(\epsilon )$ ist. Damit ist auch für alle $x\in D$ die Ungleichung $d_{Z}(f_{n}(x),f_{m}(x))<\epsilon$ für alle $n,m\geq N(\epsilon )$ erfüllt. Dies beweist, dass für alle $x\in D$ die Folge der Funktionswerte $\left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchyfolge ist.

Behauptung 1 zeigt, dass $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise konvergiert (weil $Z$ ein vollständiger Raum ist). Sei $f$ die Funktion, gegen die $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise konvergiert, also $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$.

Behauptung 2: $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert auch unter der Metrik $d_{B}$ gegen $f$

Sei $\epsilon >0$. Wähle $N\in N$ so, dass $d_{B}(f_{n},f_{m})<{\frac {\epsilon }{2}}$ für alle $n,m\geq N$ ist. Für ein beliebiges $x\in D$ ist dann $d_{Z}(f_{n}(x),f_{m}(x))<{\frac {\epsilon }{2}}$ für alle $n,m\geq N$. Für dieses $x\in D$ und $n\geq N$ gilt dann

${\begin{aligned}d_{Z}(f_{n}(x),f(x))&=d_{Z}\left(f_{n}(x),\lim _{m\rightarrow \infty }f_{m}(x)\right)\\&\quad \left\downarrow \ {\text{Jede Metrik ist stetig}}\right.\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\underbrace {d_{Z}\left(f_{n}(x),f_{m}(x)\right)} _{<\,{\frac {\epsilon }{2}}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}\end{aligned}}$

Damit ist auch $d_{B}(f_{n},f)\leq {\frac {\epsilon }{2}}<\epsilon$ für alle $n\geq N$, was beweist, dass $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f$ unter der Metrik $d_{B}$ konvergiert.

Momentan ist noch nicht klar, ob $f$ auch wirklich ein Element von $B(D,Z)$ ist, also dass $f$ eine beschränkte Funktion ist.

Behauptung 3: $f\in B(D,Z)$

Weil $\lim _{n\rightarrow \infty }d_{B}(f_{n},f)=0$, existiert ein $N\in \mathbb {N}$, so dass $d_{B}(f_{N},f)=\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f_{N}(x),f(x))\right\}<1$. Es ist

${\begin{aligned}\sup _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f(y))\right\}&\leq \sup _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f_{N}(x))+d_{Z}(f_{N}(x),f_{N}(y))+d_{Z}(f_{N}(y),f(y))\right\}\\&\leq \underbrace {\underbrace {\sup _{x\in D}\left\{d_{Z}(f(x),f_{N}(x))\right\}} _{<\,1\,<\,\infty }+\underbrace {\sup _{x,y\in D}\left\{d_{Z}(f_{N}(x),f_{N}(y))\right\}} _{<\,\infty \ (f_{N}{\text{ ist beschr}}{\ddot {\mathrm {a} }}{\text{nkt}})}+\underbrace {\sup _{y\in D}\left\{d_{Z}(f_{N}(y),f(y))\right\}} _{<\,1\,<\,\infty }} _{<\,\infty }\end{aligned}}$

Damit ist $f\in B(D,Z)$.

Behauptungen 1-3 beweisen, dass $B(D,Z)$ vollständig ist.