Auf dieser Seite findest du Aufgaben zum Beweis von Ungleichungen.
Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
a
b
≤
1
2
(
a
2
+
b
2
)
.
{\displaystyle ab\leq {\frac {1}{2}}\left({a}^{2}+{b}^{2}\right).}
Diese Ungleichung wird gelegentlich auch als "binomische Ungleichung" bezeichnet.
Folgere mit ihrer Hilfe dann nachstehenden Sachverhalt:
(
x
+
y
)
(
y
+
z
)
(
z
+
x
)
≥
8
x
y
z
,
{\displaystyle \left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq 8xyz,}
x
,
y
,
z
∈
R
+
.
{\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} _{+}.}
Zum ersten Aufgabenteil: Du weißt, dass das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Starte also mit
(
a
−
b
)
2
≥
0.
{\displaystyle {\left(a-b\right)}^{2}\geq 0.}
Zum zweiten Aufgabenteil: Wende die binomische Ungleichung an mit
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
a
{\displaystyle a}
y
{\displaystyle {\sqrt {y}}}
b
.
{\displaystyle b.}
x
+
y
{\displaystyle x+y}
y
+
z
{\displaystyle y+z}
z
+
x
.
{\displaystyle z+x.}
Es ist
(
a
−
b
)
2
≥
0
b
z
w
.
a
2
−
2
a
b
+
b
2
≥
0
{\displaystyle {\left(a-b\right)}^{2}\geq 0\quad bzw.\quad {a}^{2}-2ab+{b}^{2}\geq 0}
Weiter gilt
a
2
−
2
a
b
+
b
2
≥
0
⇔
a
2
+
b
2
≥
2
a
b
⇔
1
2
(
a
2
+
b
2
)
≥
a
b
.
{\displaystyle {a}^{2}-2ab+{b}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow {\frac {1}{2}}\left({a}^{2}+{b}^{2}\right)\geq ab.}
Schon bist du mit dem ersten Aufgabenteil durch.
Dem Hinweis folgend, halten wir fest:
x
y
≤
1
2
(
x
+
y
)
b
z
w
.
2
x
y
≤
x
+
y
.
{\displaystyle {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\leq {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)\quad bzw.\quad 2{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\leq x+y.}
Analog folgen die Beziehungen
2
y
z
≤
y
+
z
u
n
d
2
z
x
≤
z
+
x
.
{\displaystyle \ \quad 2{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}\leq y+z\quad und\quad 2{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}\leq z+x.}
(
x
+
y
)
(
y
+
z
)
(
z
+
x
)
≥
2
x
y
⋅
2
y
z
⋅
2
z
x
=
8
x
y
z
.
{\displaystyle \left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq {2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\cdot 2{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}\cdot 2{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}=8xyz.}
Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle
x
,
y
∈
R
+
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{+}}
x
2
x
+
y
≥
3
x
−
y
4
.
{\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{x+y}}\geq {\frac {3x-y}{4}}.}
Folgere mit Hilfe dieser Ungleichung dann die nachstehende:
a
2
a
+
b
+
b
2
b
+
c
+
c
2
c
+
a
≥
1
2
(
a
+
b
+
c
)
,
{\displaystyle {\frac {{a}^{2}}{a+b}}+{\frac {{b}^{2}}{b+c}}+{\frac {{c}^{2}}{c+a}}\geq {\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right),}
a
,
b
,
c
∈
R
+
.
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} _{+}.}
Zum ersten Abschnitt: Verwende
x
≤
y
⇔
y
−
x
≥
0
{\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow y-x\geq 0}
Zum zweiten Abschnitt: Wende die Erkenntnis aus dem ersten Abschnitt auf jeden der Summanden
a
2
a
+
b
,
b
2
b
+
c
,
c
2
c
+
a
{\displaystyle {\frac {{a}^{2}}{a+b}},{\frac {{b}^{2}}{b+c}},{\frac {{c}^{2}}{c+a}}}
x
2
x
+
y
≥
3
x
−
y
4
⇔
x
2
x
+
y
−
3
x
−
y
4
≥
0.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{x+y}}\geq {\frac {3x-y}{4}}\Leftrightarrow {\frac {{x}^{2}}{x+y}}-{\frac {3x-y}{4}}\geq 0.}
Mit
x
2
x
+
y
−
3
x
−
y
4
=
4
x
2
−
(
3
x
−
y
)
(
x
+
y
)
4
(
x
+
y
)
=
(
x
−
y
)
2
4
(
x
+
y
)
≥
0
{\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{x+y}}-{\frac {3x-y}{4}}={\frac {4{x}^{2}-\left(3x-y\right)\left(x+y\right)}{4\left(x+y\right)}}={\frac {{\left(x-y\right)}^{2}}{4\left(x+y\right)}}\geq 0}
Dem Lösungshinweis folgend, gelangst du schnell zur Lösung des zweiten Abschnitts:
a
2
a
+
b
+
b
2
b
+
c
+
c
2
c
+
a
≥
3
a
−
b
4
+
3
b
−
c
4
+
3
c
−
a
4
=
2
a
+
2
b
+
2
c
4
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle {\frac {{a}^{2}}{a+b}}+{\frac {{b}^{2}}{b+c}}+{\frac {{c}^{2}}{c+a}}\geq {\frac {3a-b}{4}}+{\frac {3b-c}{4}}+{\frac {3c-a}{4}}={\frac {2a+2b+2c}{4}}={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}
a) Zeige, dass für alle
x
,
y
∈
R
≥
0
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{\geq 0}}
a
+
b
2
≥
a
b
.
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}.}
Da der Quotient
(
a
+
b
)
/
2
{\displaystyle {\left(a+b\right)}/{2}}
a
b
{\displaystyle {\sqrt {ab}}}
b) Zeige, dass für alle
x
,
y
∈
R
+
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{+}}
x
y
+
y
x
≥
2.
{\displaystyle {\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geq 2.}
Die Summe aus einem Quotienten und seinem Kehrwert ist also größer/gleich
2
{\displaystyle 2}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
,
y
∈
R
−
)
.
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{-}).}
y
=
1
{\displaystyle y=1}
2
{\displaystyle 2}
c) Zeige, dass für alle
a
∈
R
≥
1
,
x
∈
R
>
0
{\displaystyle a\in \mathbb {R} _{\geq 1},x\in \mathbb {R} _{>0}}
a
x
+
a
1
/
x
2
≥
a
.
{\displaystyle {\frac {{a}^{x}+{a}^{{1}/{x}}}{2}}\geq a.}
Zu a): Nutze wieder die Tatsache, dass das Quadrat einer reellen Zahl nicht-negativ ist; steige ein mit
(
x
−
y
)
2
≥
0.
{\displaystyle {\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}\right)}^{2}\geq 0.}
Zu b): Verwende a)
Zu c): Verwende zuerst a) und anschließend b)
a)
(
x
−
y
)
2
≥
0
{\displaystyle {\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}\right)}^{2}\geq 0}
x
−
2
x
y
+
y
≥
0.
{\displaystyle x-2{\sqrt {xy}}+y\geq 0.}
Dies ist äquivalent zu
x
+
y
≥
2
x
y
{\displaystyle x+y\geq 2{\sqrt {xy}}}
x
+
y
2
≥
x
y
.
{\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}.}
b) Setze die nicht-negativen Zahlen
x
y
{\displaystyle {\frac {x}{y}}}
y
x
{\displaystyle {\frac {y}{x}}}
x
y
+
y
x
2
≥
x
y
⋅
y
x
=
1
b
z
w
.
x
y
+
y
x
≥
2.
{\displaystyle {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}}{2}}\geq {\sqrt {{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {y}{x}}}}=1\quad bzw.\quad {\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geq 2.}
c)
a
x
+
a
1
/
x
2
≥
a
x
a
1
/
x
=
a
x
+
1
/
x
≥
a
2
=
a
.
{\displaystyle {\frac {{a}^{x}+{a}^{{1}/{x}}}{2}}\geq {\sqrt {{a}^{x}{a}^{{1}/{x}}}}={\sqrt {{a}^{x+{1}/{x}}}}\geq {\sqrt {{a}^{2}}}=a.}
