Aufgabensammlung Mathematik: Beweis einer Identität (2)

Beweis einer Identität (2)

Zeige für alle $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ die nachstehende Beziehung: $\sum _{k=1}^{n}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)=\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}}}-\arctan {\left(x\right)}.$

Lösungshinweis

Verwende folgendes Additionstheorem:

$\arctan {\left(x\right)-\arctan {\left(y\right)=\arctan {\left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)}}}$

Sicherlich geht es in der Mathematik nicht darum, einfach eine große Menge an Formeln abzuspeichern. Aber die eine oder andere parat zu haben, schadet auch nicht; hier beispielsweise macht sie das Fortkommen sehr viel leichter.

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$\sum _{k=1}^{n}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)=\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}}}-\arctan {\left(x\right)}$

1. Induktionsanfang:

$\sum _{k=1}^{1}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)}}=\arctan {\left({\frac {x}{1+1\cdot 2\cdot {x}^{2}}}\right)}=\arctan {\left({\frac {2x-x}{1+2x\cdot x}}\right)=\arctan {\left(2x\right)-\arctan {\left(x\right)}}}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^{n}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)=\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}}}-\arctan {\left(x\right)}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)}}=\arctan {\left(\left(n+2\right)x\right)-\arctan {\left(x\right)}}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)}}&=\sum _{k=1}^{n}{\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)}+\arctan {\left({\frac {x}{1+\left(n+1\right)\left(n+2\right){x}^{2}}}\right)}\\&{\overset {IV}{=}}\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}-\arctan {\left(x\right)+\arctan {\left({\frac {\left(n+2\right)x-\left(n+1\right)x}{1+\left(n+2\right)\left(n+1\right){x}^{2}}}\right)}}\\&=\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}-\arctan {\left(x\right)+\arctan {\left(\left(n+2\right)x\right)}}-\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}\\&=\arctan {\left(\left(n+2\right)x\right)}-\arctan {\left(x\right)}.\end{aligned}}$