Aufgabensammlung Mathematik: Beweis einer Identität

Beweis einer Identität

Zeige, dass für alle $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ gilt: $\cos \left(n\pi \right)=\left(-1\right)^{n}$. Du darfst verwenden, dass $\cos(\pi )=-1$ und $\sin(\pi )=0$ ist.

Lösungshinweis

Im Induktionsschritt kannst du das folgende Additionstheorem des Kosinus verwenden:

$\cos(x\pm y)=\cos x\;\cos y\mp \sin x\;\sin y$

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$\cos \left(n\pi \right)=\left(-1\right)^{n}$

1. Induktionsanfang:

$\cos \left(1\cdot \pi \right)=-1=\left(-1\right)^{1}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\cos \left(n\pi \right)=\left(-1\right)^{n}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\cos \left((n+1)\pi \right)=\left(-1\right)^{n+1}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\cos \left((n+1)\pi \right)&=\cos \left(n\pi +\pi \right)\\&=\cos \left(n\pi \right)\cdot \cos \left(\pi \right)-\sin \left(n\pi \right)\cdot \sin \left(\pi \right)\\&{\overset {IV}{=}}\left(-1\right)^{n}\cdot \underbrace {\cos \left(\pi \right)} _{=(-1)}-\sin \left(n\pi \right)\cdot \underbrace {\sin \left(\pi \right)} _{=0}\\&=\left(-1\right)^{n}\cdot \left(-1\right)=\left(-1\right)^{n+1}.\end{aligned}}$