Aufgabensammlung Mathematik: Überprüfung auf Äquivalenzrelation

Überprüfung auf Äquivalenzrelation

Bei welcher der folgenden binären Relationen handelt es sich um eine Äquivalenzrelation?

1. $\mathrm {R} _{a}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ für ein $a\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ mit der Definition $x\,\mathrm {R} _{a}\,y\ :\Leftrightarrow x^{a}-y^{a}=ax-ay$
2. $\mathrm {R} \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der Definition $x\,\mathrm {R} \,y\ :\Leftrightarrow \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(y)=1$
3. $\mathrm {mod} _{a}\subseteq \mathbb {Z} ^{2}$ für ein $a\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ mit der Definition $x\ \mathrm {mod} _{a}\ y\ :\Leftrightarrow {\frac {x-y}{a}}\in \mathbb {Z}$
4. $\mathrm {R} \subseteq \mathbb {Z} ^{2}$ mit der Definition $x\,\mathrm {R} \,y:\Leftrightarrow x+y{\text{ ist gerade}}$
5. $\mathrm {R} \subseteq \mathbb {N} ^{2}$ mit der Definition $x\,\mathrm {R} \,y\ :\Leftrightarrow \exists a,b\in \mathbb {N} _{\geq 1}:y=ax^{b}$

Lösung zu Teilaufgabe 1

Diese Relation $\mathrm {R} _{a}$ ist eine Äquivalenzrelation. Dies folgt aus den folgenden drei Beweisen:

Beweis der Reflexivität:

$\forall x\in \mathbb {R} :x^{a}-x^{a}=0=ax-ax$ und damit steht jedes $x\in \mathbb {R}$ mit sich selbst in Relation.

Beweis der Symmetrie:

$\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{a}-y^{a}=ax-ay{\overset {\cdot (-1)}{\Rightarrow }}y^{a}-x^{a}=ay-ax$ und damit impliziert $x\,\mathrm {R} _{a}\,y$ auch $y\,\mathrm {R} _{a}\,x$

Beweis der Transitivität

Sei $x,y,z\in \mathbb {R}$ mit $x\,\mathrm {R} _{a}\,y$ und $y\,\mathrm {R} _{a}\,z$. Damit ist sowohl $x^{a}-y^{a}=ax-ay$ als auch $y^{a}-z^{a}=ay-az$. Es gilt dann

${\begin{aligned}x^{a}-z^{a}&=(x^{a}-y^{a})+(y^{a}-z^{a})\\&=(ax-ay)+(ay-az)\\&=ax-az\end{aligned}}$

Damit steht auch $x$ nach obiger Definition in Relation zu $z$ und die Transitivität ist bewiesen.

Lösung zu Teilaufgabe 2

Diese Relation $\mathrm {R}$ ist eine Äquivalenzrelation. Dies folgt aus den folgenden drei Beweisen:

Beweis der Reflexivität:

Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt, dass $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ für alle reellen Zahlen $x$ ist. Damit ist die Relation $\mathrm {R}$ reflexiv.

Beweis der Symmetrie:

Sei $x,y\in \mathbb {R}$, so dass $x$ mit $y$ in Relation steht, also $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(y)=1$ ist. Um zu zeigen, dass die Relation symmetrisch ist, muss gezeigt werden, dass $\cos ^{2}(y)+\sin ^{2}(x)=1$ ist. Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt, dass

${\begin{aligned}&\left(\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)\right)+\left(\cos ^{2}(y)+\sin ^{2}(y)\right)=2\\[3px]\Rightarrow \ &\underbrace {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(y)} _{=1}+\cos ^{2}(y)+\sin ^{2}(x)=2\\[3px]\Rightarrow \ &1+\left(\cos ^{2}(y)+\sin ^{2}(x)\right)=2\\[3px]\Rightarrow \ &\cos ^{2}(y)+\sin ^{2}(x)=1\\[3px]\end{aligned}}$

Beweis der Transitivität

Sei $x,y,z\in \mathbb {R}$ mit $x\,\mathrm {R} \,y$ und $y\,\mathrm {R} \,z$. Damit ist sowohl $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(y)=1$ als auch $\cos ^{2}(y)+\sin ^{2}(x)=1$. Es gilt dann

${\begin{aligned}&\left(\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(y)\right)+\left(\cos ^{2}(y)+\sin ^{2}(z)\right)=2\\[3px]\Rightarrow \ &\cos ^{2}(x)+\underbrace {\sin ^{2}(y)+\cos ^{2}(y)} _{=1}+\sin ^{2}(z)=2\\[3px]\Rightarrow \ &\cos ^{2}(x)+1+\sin ^{2}(z)=2\\[3px]\Rightarrow \ &\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(z)=1\\[3px]\end{aligned}}$

Damit steht auch $x$ nach obiger Definition in Relation zu $z$ und die Transitivität ist bewiesen.

Lösung zu Teilaufgabe 3

Diese Relation $\mathrm {mod} _{a}$ ist eine Äquivalenzrelation. Dies folgt aus den folgenden drei Beweisen:

Beweis der Reflexivität:

$\forall x\in \mathbb {Z} :{\frac {x-x}{a}}=0\in \mathbb {Z}$ und damit ist $x\,\mathrm {mod} _{a}\,x$ für alle ganze Zahlen $x\in \mathbb {Z}$.

Beweis der Symmetrie:

$\forall (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}:{\frac {x-y}{a}}\in \mathbb {Z} \ {\overset {\cdot (-1)}{\Rightarrow }}\ {\frac {y-x}{a}}\in \mathbb {Z}$ und damit folgt aus $x\,\mathrm {mod} _{a}\,y$ die Relation $y\,\mathrm {mod} _{a}\,x$. Damit ist $\mathrm {mod} _{a}$ symmetrisch.

Beweis der Transitivität

Sei $x,y,z\in \mathbb {R}$ mit $x\,\mathrm {mod} _{a}\,y$ und $y\,\mathrm {mod} _{a}\,z$. Damit ist sowohl ${\frac {x-y}{a}}\in \mathbb {Z}$ als auch ${\frac {y-z}{a}}\in \mathbb {Z}$. Es gilt dann

${\frac {x-z}{a}}={\frac {x-y+y-z}{a}}=\underbrace {\frac {x-y}{a}} _{\in \mathbb {Z} }+\underbrace {\frac {y-z}{a}} _{\in \mathbb {Z} }\in \mathbb {Z}$

Damit steht $x$ in Relation zu $z$ und somit ist $\mathrm {mod} _{a}$ transitiv.

Lösung zu Teilaufgabe 4

Diese Relation $\mathrm {R}$ ist eine Äquivalenzrelation. Dies folgt aus den folgenden Beweisen. Beachte, dass eine ganze Zahl $z$ genau dann gerade ist, wenn es eine andere ganze Zahl $k\in \mathbb {Z}$ gibt, so dass $z=2k$ ist.

Beweis der Reflexivität:

$\forall x\in \mathbb {Z} :x+x=2x$ Da $2x$ für $x\in \mathbb {Z}$ eine gerade Zahl ist, steht jede ganze Zahl $x$ mit sich selbst in Relation.

Beweis der Symmetrie:

$\forall (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}:x+y=2k\Rightarrow y+x=2k$ (Kommutativität der Addition). Damit ist diese Relation symmetrisch.

Beweis der Transitivität

Sei $x,y,z\in \mathbb {R}$ mit $x\,\mathrm {R} _{a}\,y$ und $y\,\mathrm {R} _{a}\,z$. Damit gibt es eine ganze Zahl $k_{1}$, so dass $x+y=2k_{1}$ und es gibt eine ganze Zahl $k_{2}$, so dass $y+z=2k_{2}$ ist. Es ist dann

${\begin{aligned}x+z&=x+2y-2y+z\\&=(x+y)+(y+z)-2y\\&=2k_{1}+2k_{2}-2y\\&=2\cdot (\underbrace {k_{1}+k_{2}-y} _{\in \mathbb {Z} })\end{aligned}}$

Damit steht auch $x$ in Relation zu $z$ und die Relation ist transitiv.

Lösung zu Teilaufgabe 5

Bei dieser Relation handelt es sich nicht um eine Äquivalenzrelation. Sie ist zwar reflexiv und transitiv, jedoch nicht symmetrisch. So steht zwar 4 in Relation zu 2, denn es ist $4=1\cdot 2^{2}$, aber 2 steht nicht in Relation zu 4, da 2 kein Vielfaches irgendeiner Potenz $4^{b}$ mit $b\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ ist.