Astronomische Berechnungen für Amateure/ Zeit/ Zeitrechnungen

Vorbemerkung

Verschiedene einfache Rechenvorschriften wurden bereits in den einzelnen Kapiteln angegeben. Diese Algorithmen werden hier nicht noch einmal wiederholt. Andererseits müssen wir die Vorschrift für die Berechnung der Zeitgleichung verschieben, bis wir weitere Grundlagen gelegt haben, auf denen wir dann aufbauen können. So bleiben zwei Vorschriften für dieses Kapitel übrig: die Berechnung der Sternzeit und die Berechnung des Unterschieds Ephemeridenzeit minus Weltzeit.

Bei den Rechnungen gilt es, sorgfältig auf die verwendeten Einheiten zu achten – insbesondere wenn sie unüblicherweise gemischt sind.

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Sternzeit

Die Sternzeit um 0 h UT in Greenwich kann wie folgt berechnet werden:

1) Man berechne das Julianische Datum um 0 h UT des Datums.

2) Man berechne  $T={\frac {JD\;-\;2\;451\;545.0}{36\;525}}$ 

3) Die mittlere Sternzeit um 0 h UT in Greenwich ist dann

       ${\begin{aligned}\theta _{0}\quad =\quad &6^{\text{h}}\;41^{\text{m}}\;50^{\text{s}}.548\;41\;+\;8\;640\;184^{\text{s}}.812\;866\cdot T\\&+\;0^{\text{s}}.093\;104\cdot T^{2}\;-\;0^{\text{s}}.000\;0062\cdot T^{3}\end{aligned}}$

JD muss also auf .5 enden – andernfalls wird das Resultat falsch. Beachten Sie ebenfalls, dass der konstante Term im Sexagesimalystem als Stunden/Minuten/Sekunden angegeben ist, während die übrigen Terme in Sekunden gegeben sind! Vor der Addition sind die Einheiten anzupassen, indem entweder alles in Sekunden oder in Stunden verwandelt wird. Zum Schluss ist der Wert auf das Intervall [0;24) zu normieren – wie jede andere Zeitangabe springt sie nach 24 h auf 0 h zurück. Außer als Zwischenergebnisse haben Zeitwerte > 24 h daher keinen Sinn.

Beispiel:

Welchen Wert hatte die mittlere Sternzeit in Greenwich am 25. Dezember 2007 um 0 h UT? Es ist JD = 2 454 459.5 und somit T = +0.079 794 6612, woraus man $\theta _{0}\;=\;198.208\;657\;9924{\text{h}}$ errechnet, was auf [0;24) reduziert 6 h 12 m 31.17 s als gesuchte Lösung ergibt.

Soll die Sternzeit nicht um 0 h UT, sondern um t h UT in Greenwich berechnet werden, so geht man wie folgt vor:

1)Berechnen Sie nach der vorstehenden Methode die mittlere Sternzeit um 0 h UT zum gewünschten Datum.

2)Addieren Sie zum Ergebnis von 1) das Produkt  $t\cdot 1.002\;737\;909\;35$ .

Der Faktor 1.002 737 909 35 berücksichtigt, dass die Sternzeit um so viel schneller abläuft als die Sonnenzeit. Das Resultat ist zum Schluss wieder auf [0; 24) zu normieren.

Beispiel:

Welchen Wert hatte die mittlere Sternzeit in Greenwich am 25. Dezember 2007 um 20 h UT? Im vorigen Beispiel haben wir für 0 h UT gefunden: $\theta _{0}\;=\;6\;{\text{h}}\;12\;{\text{m}}\;31.17\;{\text{s}}$ . In den 20 Stunden Sonnenzeit vergehen 20.054 758 1870 Stunden Sternzeit. Somit ist nach Reduktion auf [0;24) $\theta \;=\;2\;{\text{h}}\;15\;{\text{m}}\;48.30\;{\text{s}}$ .

Soll die mittlere Sternzeit nicht für Greenwich, sondern für einen Ort der geografischen Länge λ° (positiv gezählt nach Osten, negativ nach Westen), dann geht man wie folgt vor:

1) Man berechne die Sternzeit für Greenwich.

2) Zum Resultat addiere man  ${\frac {\lambda }{15}}$  Stunden.

Man beachte, dass der Quotient für einen im Osten gelegenen Ort positiv, für einen im Westen gelegenen Ort dagegen negativ wird.

Beispiel:

Welchen Wert hatte die mittlere Sternzeit in Berlin (λ = +13.5°) am 25. Dezember 2007 um 20 h UT (entspricht 21 MEZ in Berlin)? Im vorigen Beispiel haben wir für 20 h UT in Greenwich gefunden: $\theta \;=\;2\;{\text{h}}\;15\;{\text{m}}\;48.30\;{\text{s}}$ . Die 13.5° Längendifferenz entsprechen 0.900 h Sternzeit, somit ist in Berlin $\theta \;=\;3\;{\text{h}}\;09\;{\text{m}}\;48.30\;{\text{s}}$ .

Benötigt man nicht die mittlere, sondern die scheinbare („apparent“) Sternzeit, dann geht man wie folgt vor:

1) Man berechne die mittlere Sternzeit nach den vorstehenden Vorschriften.

2) Zum Ergebnis addiere man  ${\frac {\Delta \psi \cdot \cos {\epsilon }}{15}}$  .

Wenn der Term Δψ (die sog. Nutation in Länge) in Bogensekunden gegeben ist, dann ist die Korrektur in Zeitsekunden. ε ist die Schiefe der Ekliptik, der Korrekturterm ist die Gleichung des Äquinoktiums. Wir werden erst später die Rechenvorschrift angeben, wie man diese Größen berechnet. Vorläufig entnehmen wir sie einem Tabellenwerk.

Beispiel:

Welchen Wert hatte die scheinbare Sternzeit in Berlin am 25. Dezember 2007 um 20 h UT (entspricht 21 MEZ in Berlin)? Im vorigen Beispiel haben wir für die mittlere Sternzeit in Berlin zu diesem Zeitpunkt gefunden: $\theta \;=\;3\;{\text{h}}\;09\;{\text{m}}\;48.30\;{\text{s}}$ . Aus einem Jahrbuch entnehmen wir Δψ = 8.73" und ε = 23° 26' 25". Somit beträgt die Korrektur durch die Gleichung des Äquinoktiums 0.534 s, die scheinbare Sternzeit ist also $\theta \;=\;3\;{\text{h}}\;09\;{\text{m}}\;48.83\;{\text{s}}$ .

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Zeitskalen

Die langfristige Abbremsung der Erdrotation und ihre kurzfristigen Schwankungen laufen unregelmäßig ab. Die Unterschiede zwischen den gleichmäßig ablaufenden Zeiten und den an die Erdrotation gebundenen Zeiten können daher nur durch Beobachtung und erst im Nachhinein festgestellt werden. Diese Daten werden ebenso wie kurzfristige Prognosen laufend publiziert. Wie kritisch aber solche Prognosen sein können, zeigt folgendes Beispiel: Jean Meeus^[1] veröffentlicht in seinem ausgezeichneten Buch über Astronomische Algorithmen auf Seite 86 eine Tabelle mit den Werten von $\Delta T$ für den Zeitraum von 1620 bis 1992 in Zeitabständen von 2 Jahren. Zwei Seiten vorher gibt er Prognosen und schreibt dazu: „Für Epochen in der nahen Zukunft kann man die Werte (…) extrapolieren.“ So gibt er folgende Werte: für 1993 $\Delta T$ = +60 Sekunden, 2000 $\Delta T$ = +67 Sekunden und 2010 $\Delta T$ = +80 Sekunden. In Tat und Wahrheit gilt für 1993.0 $\Delta T$ = +59.1 s, für 1993.92 $\Delta T$ = +59.9 s; für 2000.0 $\Delta T$ = +63.8 s, für 2000.92 $\Delta T$ = +64.1s; für 2010.75 lautet die aktuelle Prognose $\Delta T$ = +66.9 s. Mit anderen Worten: $\Delta T$ hat weniger zugenommen, als man zu Ende der 80-er Jahre aufgrund der früheren Entwicklungen erwarten durfte. Für die Zwecke der Amateurastronomie genügt es meist, den Wert für ein halbes oder ein ganzes Jahr konstant anzunehmen.

Die Werte von ΔT für den 1. eines jeden Monats ab dem 1.02.1973 findet man hier: aktuelles ΔT. Für die meisten Amateuranwendungen dürfte dies genügen. Wer historische Werte benötigt, findet diese jeweils für den Jahresanfang und die Jahresmitte von 1657.0 bis 1984.5 unter historisches ΔT. Wer schließlich Prognosen benötigt, findet sie hier: prognostiziertes ΔT (aktuell bis 2017).

Wer lieber mit den Bestandteilen rechnet, findet dUT = UT1 – UTC für das aktuelle Datum und eine Prognose über 1 Jahr hier: dUT , die Angabe zu den Schaltsekunden hier: Schaltsekunden.

Alle Links beziehen sich auf Publikationen des International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS) Prediction Center, einer Abteilung des U.S. Naval Office, das man hier findet: IERS Prediction Center. Die Fülle der hier gebotenen Informationen ist aber erschlagend, der Anfänger braucht Zeit, bis er weiß, welche Information für ihn die richtige ist.

Es kann trotzdem wünschbar sein, eine Schätzung für die Größe von ΔT zu rechnen. Dafür gibt es eine Reihe von Formeln, die mehr oder weniger brauchbare Resultate liefern. Im folgenden werden einige Formeln angegeben. Es soll aber nochmals darauf aufmerksam gemacht werden: wegen des unregelmäßigen Charakters der Änderungen in den Erdrotationsparametern handelt es sich bei den berechneten Werten um Schätzungen oder Näherungen, die mit der nötigen Sorgfalt behandelt werden müssen. Dies gilt besonders dann, wenn die Formel nur für einen eingeschränkten Zeitraum gilt und versucht wird, außerhalb dieses Zeitraums Werte zu berechnen.

Ist ein Wert von ΔT für ein Jahr J gefragt, für das der IERS keine Daten liefert, so kann ein genäherter Wert wie folgt berechnet werden:

 1) Es sei J die Jahrzahl (inkl. Dezimalbruchteil), für die eine Schätzung berechnet werden soll, und JD das zugehörige Julianische Datum.
 
 2) Berechnen Sie  $n\;=\;{\frac {J-2000.0}{100}}$ , die Anzahl seit J2000.0 verflossener Jahrhunderte.

 3) Diese Formeln liefern gleichwertige Schätzungen für ΔT:

       $\Delta T\;=\;-15\;+\;0.00325\cdot (J\;-\;1810)^{2}$ 

       $\Delta T\;=\;102.3\;+\;123.5\cdot n\;+\;32.5\cdot n^{2}$ 

       $\Delta T\;=\;-15\;+\;{\frac {(JD\;-\;2\;382\;148)^{2}}{41\;048\;480}}$

Diese drei Formeln gehen auf Morrison und Stephenson^[2] zurück. Für die Zeit vor 1600 liegen von Stephenson und Morrison bzw. Stephenson und Houlden weitere Näherungsformeln vor:

 1) Berechnen Sie  $n\;=\;{\frac {J\;-\;2000.0}{100}}$ , die Anzahl seit J2000.0 verflossener Jahrhunderte, bzw.  $m\;=\;{\frac {J\;-\;1800}{100}}$ ,
    die Anzahl seit 1800 verflossener Jahrhunderte.

 2) Diese Formeln liefern eine Schätzung für ΔT zu verschiedenen Zeiten, und zwar für Jahre von

     -390 bis  +948:  $\Delta T\;=\;1360\;+\;320\cdot m\;+\;44.3\cdot m^{2}$   (Ia)

     +948 bis +1600:  $\Delta T\;=\;25.5\cdot m^{2}$   (Ib)   bzw.

     vor +948:        $\Delta T\;=\;2715.6\;+\;573.36\cdot n\;+\;46.5\cdot n^{2}$   (IIa)

     +948 bis +1600:  $\Delta T\;=\;50.6\;+\;67.5\cdot n\;+\;22.5\cdot n^{2}$   (IIb)

ΔT ergibt in allen Fällen einen Wert in Sekunden. Beachten Sie, dass im Gültigkeitsbereich der Formeln sowohl m < 0 als auch n < 0 gilt. Hier ist im weiteren ein Online-Rechner^[3] für verschiedene Näherungen von ΔT zu finden. Das IERS publiziert schließlich für seine Prognosen von dUT gleich auch noch eine Formel, wie der Ausdruck weiter extrapoliert werden kann.

Beispiel:

Die Differenz TT - UT als Funktion der Zeit zwischen 1973 und 2008

Wie groß war ΔT zum Zeitpunkt der Kalenderreform von Papst Gregor? Der 4. Oktober 1582 ist Tag Nr. 277 im Jahr und JD 2 299 159.5, folglich ist ΔT für 1582.759 gesucht. Die drei Formeln der ersten Box liefern 153 Sekunden, die Formel (Ib) 120 Sekunden und die Formel (IIb) 161 Sekunden. Es hat keinen Sinn, das Resultat genauer angeben zu wollen. Mit dem Online-Rechner finden wir: Reingold-Dershowitz 153 Sekunden; Hempe und Molt 97 Sekunden; Thielen (1. Version) 276 Sekunden; Thiele (2. Version) –219 Sekunden; Newcomb Ahnert 307 Sekunden; regelmäßige Änderung von 0.0016 s/Jhdt. 295 Sekunden – die Spannweite ist also sehr groß. Übrigens: der nächstgelegene Wert der historischen Reihe des USNO stammt aus dem Jahr 1657 und beträgt 44 Sekunden mit einem geschätzten Fehler von 12 Sekunden. Wiederholen wir die Rechnungen noch für den Tag der Ermordung Caesars, den 15. März –43 ("Iden des März") bzw. –43.203 (JD 1 705 425.5). Die Rechnungen liefern der Reihe nach 11 140 s, 10 510 s; 10 410 s; 11 140 s; 9 920 s; 10 340 s; 10 750 s; 11 490 s; 11 030 s – alle Schätzformeln liefern in diesem Fall ein Ergebnis in der Größenordnung von 3 Stunden (entspricht 10 800 s).

Die Ergebnisse zeigen, wie vorsichtig man solche Schätzungen behandeln muss. Ein weiterer Hinweis kann der nebenstehenden Grafik entnommen werden: sie zeigt den Verlauf von ΔT von 1973 bis 2008. Deutlich zu erkennen ist, dass zwischen 1973 und 1985 und wieder zwischen 1990 und etwa 1998 ein steiler Anstieg von ΔT erfolgt ist, unterbrochen von einem leicht weniger steilen Anstieg zwischen 1985 und 1990. Es zeigt sich aber auch, dass sich der Anstieg seit 1998 deutlich abgeflacht hat. Solche unregelmäßigen Verläufe beeinflussen die Prognosen bzw. Extrapolationen sehr stark.

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Nachweise:

↑ Astronomische Algorithmen; Jean Meeus; 1992, Verlag Johann Ambrosius Barth, Leipzig/Berlin/ Heidelberg; ISBN 3-335-00318-7
↑ L. V. Morrison and F. R. Stephenson, Sun and Planetary System; 96 (1982) 73, zitiert nach [Meeus, 1992], a.a.O.
↑ Link: Online-Rechner

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[1] Astronomische Algorithmen; Jean Meeus; 1992, Verlag Johann Ambrosius Barth, Leipzig/Berlin/ Heidelberg; ISBN 3-335-00318-7

[2] L. V. Morrison and F. R. Stephenson, Sun and Planetary System; 96 (1982) 73, zitiert nach [Meeus, 1992], a.a.O.

[3] Link: Online-Rechner

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