Astronomische Berechnungen für Amateure/ Lösungen zu den Übungen/ Kap Distanzen

Der erdnahe Raum; Horizontalparallaxe

π = 0.951° = 57.0' bzw.π = 1.025° = 1° 1.5' bzw. π = 0.899° = 53.9'

Für einen solchen Körper ist Δ = 10 000 000 km, also π = 2' 12". Das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges liegt unter optimalen Bedingungen bei 1'. Es handelt sich also um den Raumbereich, wo theoretisch eine Parallaxe noch von blossem Auge festgestellt werden kann. Trotz dieser Begründung ist aber die Festlegung der Grenze willkürlich. Dennoch können wir uns unter den hier auftretenden Distanzen noch etwas vorstellen: 200 000 km bis 300 000 km entspricht der normalen Fahrleistung eines PKW, 1 000 000 km diejenige eines Linienbusses im öffentlichen Verkehr.

Keine parallaktische Verschiebung: Erdmittelpunkt, Beobachter und Himmelsobjekt stehen auf einer Linie, das Objekt befindet sich im Zenit des Beobachters. Horizontalparallaxe: das Objekt befindet sich am Horizont des Beobachters (daher der Name), geht also gerade auf (im Osten) oder unter (im Westen).

Die Horizontalparallaxe stellt den scheinbaren Radius der Erde am Mondhimmel dar, das Doppelte der Horizontalparallaxe also den Durchmesser.

s ₁ = 0.259° = 15' 32.6" bzw. D ₁ = 0.518° = 31' 5.2"; s ₂ = 0.279° = 16' 45.9" bzw. D ₂ = 0.559° = 33' 31.7"; s ₃= 0.245° = 14' 41.5" bzw. D ₃ = 0.490° = 29' 22.9".

Wenn der Mond im Zenit steht, ist der scheinbare Durchmesser grösser als wenn er am Horizont steht, weil der Beobachter ihm um ca. einen Erdradius näher ist. Es ist dann in der mittleren Mondentfernung Δ´ = Δ – 6378 km zu setzen, was s ₁ = 0.263° = 15' 48.3" bzw. D ₁ = 0.527° = 31' 36.7". Der Mondradius ist also im Zenit ca. 15" grösser als am Horizont. Der subjektive Eindruck ist allerdings ein anderer: der (Voll-)Mond scheint am Horizont grösser als im Zenit zu sein. Dabei handelt es sich jedoch um eine optische Täuschung.

Das Sonnensystem; Lichtzeit

Zur Lösung verwenden wir im Fall, dass in der Aufgabenstellung keine konkreten Daten gegeben sind, Daten aus der Tabelle im Anhang.

Wenn es sich um Kreisbahnen handelt, dann entspricht der erdnächsten Distanz die Differenz, der erdfernsten Distanz die Summe der Radien. Mit diesem Ansatz, dem Wert für 1 AE und dem Erddurchmesser von 12756.28 km erhalten wir:

Planet		Merkur	Venus	Mars	Jupiter	Saturn	Uranus	Neptun	Pluto	Sonne	Mond
a	AE	0.387	0.723	1.524	5.203	9.582	19.201	30.047	39.482	—	384'400
D	km	4 879	12 103.6	6 794	142 984	120 536	51 118	49 528	2 390	1 391 400	3 476
π₁	"	28.700	63.500	33.570	4.180	2.050	0.970	0.610	0.460	8.794	3 422.600
π₂	"	12.680	10.210	6.970	2.840	1.660	0.870	0.570	0.430	—	—

Es bezeichnen: a die grosse Bahnhalbachse (= mittlere Entfernung), D der Durchmesser, π₁ die Horizontalparallaxe bei minimaler Entfernung, π₂ die Horizontalparallaxe bei maximaler Entfernung.

Wir finden für die Venus: s_V = 29.7" und für Eros s_e = 0.3" bzw. 0.1" – das „Erosscheibchen“ hat einen Durchmesser, der maximal 1/100 des Venusscheibchens misst. Und dies, obwohl Venus zweimal so weit entfernt ist wie Eros.

Mit den Vorgaben erhalten wir für die Lichtzeit in Sekunden (1. Zeile: minimaler Abstand, 2. Zeile: maximaler Abstand):

Merkur	Venus	Mars	Jupiter	Saturn	Uranus	Neptun	Pluto	Sonne	Mond
305.84	138.22	261.48	2 097	4 282	9 082	14 495	19 203	499.00	1.28
692.17	859.79	1259.49	3 095	5 280	10 080	15 493	20 201	―	―

Am meisten verfrüht sind sie in der Oppositionsstellung (Sonne – Erde – Jupiter auf gerader Linie), wenn also die Erde in H steht. Am meisten verspätet sind sie in der Konjunktionsstellung (Erde in E). Mittlere Zeit dann, wenn Sonne – Erde – Jupiter einen rechten Winkel bilden. Der Laufzeitunterschied entspricht gerade der Lichtzeit für die AE, also 499 s.

In den Weiten des Kosmos; Aberration

Aus der Tabelle entnehmen wir die Werte für die Entfernung von Neptun (30.047 AE) und Pluto (39.482 AE). Mit $sin\pi \;=\;{\frac {1{\text{AE}}}{a}}$ , wo a die grosse Halbachse der Planetenbahn in AE ist, finden wir: π_♆ = 1.91° bzw. π_♇ = 1.45°. Dies ist umgekehrt der grösste Winkel, um den sich für einen hypothetischen Beobachter auf diesen Planeten die Erde von der Sonne entfernen kann („Elongation“).

Die Eigenbewegung beträgt μ = 10.34"/a = 0.0028722°/a = 5.013e–5 rad/a. Die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit ist damit v = μ∙Δ = 5.013e–5 rad/a ∙ 1.84 pc = 9.22e–5 pc/a = 19.03 AE/a = 90.2 km/s.

Es ist k' = v/c = 1.551e–6 rad = 8.889e–5° = 0.32" mit v = 0.465 km/s als der Rotationsgeschwindigkeit eines Ortes am Erdäquator.

Die Parallaxe ist dann am grössten, wenn Stern – Sonne – Erde einen rechten Winkel bilden und am kleinsten, wenn Stern – Erde – Sonne in gerader Linie stehen. Die Aberration ist dann am grössten, wenn Stern – Erde – Sonne in gerader Linie stehen, und dann am kleinsten, wenn Stern – Sonne – Erde einen rechten Winkel bilden. Die beiden Effekte sind auf der Umlaufbahn der Erde um 90° „verschoben“.

Der Effekt hat nichts mit dem Fernrohr, sondern mit der Bewegung des Beobachters senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Sternenlichts zu tun: ja, der Effekt tritt auch bei der Beobachtung von blossem Auge auf.