Astronomische Berechnungen für Amateure/ Himmelsmechanik/ Ellipsengeometrie

Für das weitere Vorgehen benötigen wir immer wieder Eigenschaften der Ellipse. Wir tragen darum in diesem Kapitel einiges über die Geometrie von Ellipsen zusammen.

Definition

Erste Definition:

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P, für die

die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F₁ und F₂ konstant ist:

{\overline {F_{1}P}}\;+\;{\overline {F_{2}P}}\quad =\quad {\text{konst}}\quad =\quad 2a

Die beiden Punkte F₁ und F₂ heissen die Brennpunkte der Ellipse. Die sog. Gärtnerkonstruktion nutzt direkt diese Definition: man schlägt in den beiden Brennpunkten je einen Pflock ein (auf Papier: man steckt eine Nadel ein) und legt darum herum eine geschlossene Schnur (oder einen Faden) der Länge ${\overline {F_{1}F_{2}}}+2a$ . Spannt man die Schnur mit einem weiteren Pflock (oder mit einem Bleistift) und fährt bei immer gestreckter Schnur rund herum, so beschreibt die Pflock- oder Bleistiftspitze eine Ellipse. Gärtner konstruieren auf diese Weise ein elliptisches Gartenbeet, von daher hat die Konstruktion ihren Namen.

Eine Ellipse kann aber noch anders definiert werden (zweite Definition):

Eine Ellipse ist das affine Bild eines Kreises.

Im einfachsten Fall bedeutet dies: wenn ein x-y-Koordinatensystem durch den Mittelpunkt des Kreises gelegt wird, so werden die Werte der x-Koordinaten unverändert belassen, während die Werte der y-Koordinaten in einem konstanten Verhältnis 1 – f gestaucht oder gestreckt werden. Für die konstruktive Darstellung einer Ellipse am Bildschirm eines PC ist diese Definition geeigneter als die Gärtnerkonstruktion.

Bezeichnungen

Verhältnisse an einer Ellipse

Die zwei Punkte S₁ und S₂, die vom Mittelpunkt M den grössten Abstand haben, heissen die beiden Hauptscheitel der Ellipse, und die Gerade S₁S₂ heisst die Hauptachse. Die Strecke ${\overline {MS_{1}}}={\overline {MS_{2}}}=a$ heisst grosse Halbachse. Analog heissen die beiden Punkte S₃ und S₄, die von M den kleinsten Abstand haben, die Nebenscheitel der Ellipse, und die Gerade S₃S₄ heisst die Nebenachse. Die Strecke ${\overline {MS_{3}}}={\overline {MS_{4}}}=b$ heisst kleine Halbachse. Die Strecke ${\overline {MF_{1}}}={\overline {MF_{2}}}=e$ heisst lineare Exzentrizität. Sie misst, um wieviel ein Brennpunkt aus der Mitte der Ellipse verschoben ist.

Die in der ersten Definition auftretende Konstante 2a ist tatsächlich das Doppelte der grossen Halbachse a. Dazu betrachten wir den Fall, dass P = S₁ ist. Dann gilt:

{\overline {F_{1}S_{1}}}\;+\;{\overline {F_{2}S_{1}}}\quad =\quad (a-e)\;+\;(a+e)\quad =\quad 2a

Zwischen grosser und kleiner Halbachse und linearer Exzentrizität gilt aufgrund des Satzes von Pythagoras die Beziehung:

a^{2}\quad =\quad b^{2}\;+\;e^{2}\qquad \Leftrightarrow \qquad b\quad =\quad {\sqrt {a^{2}\;-\;e^{2}}}

Die Länge einer halben Sehne, durch einen Brennpunkt gezogen, senkrecht zur Hauptachse heisst Parameter p der Ellipse. Ferner definiert man die numerische Exzentrizität ε^[1] einer Ellipse als

\varepsilon \quad =\quad {\frac {e}{a}}\quad =\quad {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\quad =\quad {\sqrt {1\;-\;\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}

Damit gilt für den Parameter p:

p\quad =\quad a\cdot (1\;-\;\varepsilon ^{2})\quad =\quad {\frac {b^{2}}{a}}

Der Stauchungsfaktor 1 – f der affinen Abbildung hängt wie folgt mit den definierten Grössen zusammen:

1\;-\;f\quad =\quad {\frac {b}{a}}\quad =\quad {\frac {\sqrt {a^{2}-e^{2}}}{a}}\quad =\quad {\frac {\sqrt {a^{2}\cdot (1-\varepsilon ^{2})}}{a}}\quad =\quad {\sqrt {1\;-\;\varepsilon ^{2}}}

\Leftrightarrow \qquad f\quad =\quad {\frac {a-b}{a}}

Daraus findet man sofort die folgenden Beziehungen, die schon im Kapitel über „Koordinaten auf der Erde“ angegeben wurden (wo f „Abplattung“ hiess):

(1\;-\;f)^{2}\quad =\quad 1\;-\;\varepsilon ^{2}\qquad \Leftrightarrow \qquad \varepsilon \quad =\quad {\sqrt {2f\;-\;f^{2}}}

Eigenschaften einer Ellipse

Brennstrahlen, die von einem Brennpunkt ausgehen, werden in den zweiten Brennpunkt reflektiert

Die Ellipse ist eine ebene Figur, dh. selbst wenn die Ellipse im Raum steht, kann man eine Ebene finden, so dass die Ellipse vollständig in dieser Ebene liegt.

Da für jede Ellipse ${\overline {MF_{1}}}={\overline {MF_{2}}}=e<a$ gilt, folgt mit der Definition der numerischen Exzentrizität ε sofort: 0 ≤ ε < 1. Der Fall ε = 0 ist der Spezialfall des Kreises.

Die Strecke von einem Brennpunkt zu einem beliebigen Punkt P auf der Ellipse heisst Brennlinie. Betrachten wir einen beliebigen Punkt P auf der Ellipse. Dann bilden die beiden Brennlinien F₁P und F₂P in P den Winkel 2ψ. Bestimmen wir in P die Tangente an die Ellipse und errichten darauf die Normale, so halbiert diese gerade den Winkel 2ψ. In der Akustik bedeutet dies: Schallwellen, die von F₁ ausgehen und an einem elliptischen Gewölbe reflektiert werden, werden nach F₂ gebündelt. Dies ist das Prinzip des „Flüstergewölbes“.

Analytische Darstellung einer Ellipse

Liegt der Ursprung eines x-y-Koordinatensystems im Mittelpunkt M einer Ellipse, und zeigt die positive x-Achse in Richtung zum Hauptscheitel S₁, so hat eine Ellipse in kartesischen Koordinaten folgende Darstellung (t ist ein Winkelparameter im Bogenmass):

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\;+\;{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\quad =\quad 1\qquad \Leftrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\quad =\quad {\begin{pmatrix}a\cdot \cos(t)\\b\cdot \sin(t)\end{pmatrix}}\qquad (0\;\leq \;t\;<\;2\pi )

In Polarkoordinaten hängt es davon ab, ob der Ursprung im Mittelpunkt M (erste Formel) bzw. im rechten Brennpunkt F₁ (zweite Formel) liegt; die Achse zeigt in beiden Fällen nach rechts zum Scheitel S₁:

r\quad =\quad {\frac {b}{\sqrt {1\;-\;\varepsilon ^{2}\cdot \cos ^{2}(\varphi )}}}\qquad {\text{bzw.}}\qquad r\quad =\quad {\frac {p}{1\;+\;\varepsilon \cdot \cos(v)}}

Der Flächeninhalt A einer Ellipse berechnet sich nach der Formel:

A\quad =\quad \pi ab\quad =\quad \pi a^{2}{\sqrt {1\;-\;\varepsilon ^{2}}}

Übungen

Konstruieren Sie am PC eine Ellipse als affines Bild eines Kreises! Wählen Sie als Stauchungsfaktor 1 – f = 0.75. Um wieviel kürzer ist dann die kleine Halbachse als die grosse Halbachse?
Kennt man von einer Ellipse die grosse Halbachse a und die numerische Exzentrizität ε, so ist ihre Form eindeutig bestimmt, dh. alle übrigen Stücke lassen sich damit berechnen. Berechnen Sie mit den Daten aus dem Anhang für die Marsbahn die Parameter b, e, f bzw. 1 – f und p.
Wo befindet sich die Erde (oder ein beliebiger anderer Himmelskörper) in Perihel- bzw. Aphelstellung? Wie berechnen Sie die Periheldistanz q bzw. die Apheldistanz Q?
Im vorangehenden Kapitel wurde behauptet, im Falle der Erdbahn sei die Sonne rund 2.5 Millionen km aus der Mitte verschoben, die Abweichung vom Kreis betrage aber nur 21 000 km. Rechnen Sie nach!
Auch der Halleysche Komet beschreibt eine Ellipsenbahn. Für ihn gelten die Daten a = 17.834 AE, ε = 0.967. Berechnen Sie für diese Bahn b, e, f, p, q und Q. Deutung?

Nachweis:

↑ Die Symbole e für die lineare und ε für die numerische Exzentrizität sind in der Geometrie üblich. In der Himmelsmechanik ist das Symbol ε für die Schiefe der Ekliptik reserviert. Da man die lineare Exzentrizität als eigenständige Grösse praktisch nie braucht, reserviert man in der Himmelsmechanik das Symbol e für die numerische Exzentrizität der Bahnen von Himmelskörpern.

[1] Die Symbole e für die lineare und ε für die numerische Exzentrizität sind in der Geometrie üblich. In der Himmelsmechanik ist das Symbol ε für die Schiefe der Ekliptik reserviert. Da man die lineare Exzentrizität als eigenständige Grösse praktisch nie braucht, reserviert man in der Himmelsmechanik das Symbol e für die numerische Exzentrizität der Bahnen von Himmelskörpern.

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