Analysis II: Ableitungen: Richtungsableitung

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Einleitung

Wir beschränken uns nun auf den $\!\ \mathbb {R} ^{n}$. Im $\!\ \mathbb {R} ^{n}$ charakterisiert man Richtungen mittels Vektoren der Länge 1. Oft will man nicht direkt das vollständige Differential, sondern nur die Ableitung in eine bestimmte Richtung bzw das Verhalten der Ableitung in einer bestimmten Richtung untersuchen. Dieses Problem führt zu dem Begriff der Richtungsableitung. Da die Vorschrift für Richtungsableitungen immer noch kein Pappenstiel ist, zerteilt man die Richtung in kanonische Einheitsvektoren, da jeder Vektor eine Linearkombination der Basis des Vektorraums darstellt. Wir werden ausschließlich die kanonische (einfachste, nächstliegende) Basis des $\!\ R^{n}$ benutzen. Die Ableitung in Richtung eines Basisvektors im $\!\ \mathbb {R} ^{n}$ nennt man partielle Ableitung. Schließlich versucht man den Kreis zu schließen, indem man versucht Aussagen über das Differential mit dem Wissen über die partiellen Ableitungen zu machen. Wir werden sehen, dass sich das Differential mittels partieller Ableitungen darstellen lässt. Aber nur die Existenz der partiellen Ableitungen reicht leider nicht aus für die Differenzierbarbeit. Wir können das Kriterium aber verschärfen und werden sehen, dass die Existenz aller stetigen partiellen Ableitungen genügt, um die Existenz des Differentials zu garantieren, welches uns zum wichtigsten Satz dieses Abschnitts führen wird: Das Differenzierungskriterium.

Bitte beachten

Allen Sätzen wird ein sinnhafter Name gegeben. Kleinere Sätze bekommen in der Literatur zwar keinen eigenen Namen, aber in diesem Buch schon. Diese Namen sind inoffiziell und werden nur innerhalb dieses Buches benutzt, um sinnvoll auf sie referenzieren zu können. Bei Sätzen mit mehr oder weniger bekannten Namen wird dieser gesondert formatiert.

• offizielle Namen: Beispiel
• inoffizielle Namen: Beispiel

Benötigte Definitionen

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Seien $\!\ x$ und $\!\ y$ Elemente eines reellen Vektorraums mit Skalarprodukt, dann gilt:

$\!\ |x\cdot y|\leq \|x\|\|y\|$

Die Richtungsableitung

Definition:
Sei $\!\ f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion in einer Umgebung $\!\ U$ von $\!\ a$. Dann versteht man unter der Richtungsableitung von $\!\ f$ im Punkt $\!\ a$ in Richtung des Vektors $\!\ h\in \mathbb {R} ^{n}$ den Limes

$\!\ {\frac {\partial f}{\partial h}}(a)=\partial _{h}f(a):=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+th)-f(a)}{t}}$

Bemerkungen:

• Der Limes muss natürlich existieren.
• Wir werden für Richtungsableitungen immer die vorderste Notation benutzen.
• Eine brauchbare Rechenvorschrift erhält man erst mit der partiellen Ableitung.

Die partielle Ableitung

Ein Spezialfall der Richtungsableitung stellt die partielle Ableitung dar, wenn man sich bei den Richtungen auf die kanonischen Basisvektoren des $\!\ \mathbb {R} ^{n}$ beschränkt.

Definition:
Sei $\!\ x_{i}$ die i-te Variable und $\!\ e_{i}$ der i-te Basisvektor von $\!\ \mathbb {R} ^{n}$, dann heißt der Limes

$\!\ {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=\partial _{x_{i}}f(a):=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+te_{i})-f(a)}{t}}$

die partielle Ableitung nach $\!\ x_{i}$ Bemerkungen:

• Wieder ist die Existenz des Limes vorausgesetzt.
• Obwohl die partielle Ableitung ein Spezialfall der Richtungsableitung ist, werden die Definitionen auch gerne in umgekehrter Reihenfolge und/oder mit nennenswerten zeitlichen Abstand eingeführt, indem die Richtungsableitung als Verallgemeinerung behandelt wird.
• Die partielle Ableitung wird berechnet, indem man alle anderen Variablen außer $\!\ x_{i}$ als konstant betrachtet und dann wie gewohnt aus der eindimensionalen Analysis nach $\!\ x_{i}$ ableitet.

Richtungsableitung und Differenzierbarkeit

Es gibt einen intuitive, aber wichtige Erkenntnis zur Existenz von Richtungsableitungen: Wenn das Differential existiert, so existieren auch alle Richtungsableitungen.
Auch ergibt sich dadurch eine Rechenvorschrift für eine Richtungsableitung in eine beliebige Richtung: man verrechnet das Differential an einer beliebigen Stelle mit einem beliebigen Richtungsvektor mittels der Matrizenmultiplikation. Da es für eine Richtung unendlich viele Vektoren gibt, stellt sich die Frage, was nun Vektoren bewirken, die eine Länge ungleich 1 haben. Qualitativ ändern sie nichts, aber sie strecken zusätzlich den Ableitungswert mit ihrer Länge. Deshalb sollte man für qualitative Ergebnisse immer normierte Vektoren bevorzugen oder anschließend den Ableitungswert mit dem Kehrwert der Länge verrechnen.
Nun zu der Erkenntnis, formuliert als Satz:

Satz (Existenz aller Richtungsableitungen)

Eine in $\!\ a$ differenzierbare Funktion $\!\ f$ hat dort Richtungsableitungen in jeder Richtung.

Für den Beweis müssen wir zeigen, dass das gerichtete Differential $\!\ df(a)$ immer noch die Bedingung der Differenzierbarkeit erfüllt.
Weil $\!\ f$ in $\!\ a$ differenzierbar ist, existiert das Differential $\!\ L:=df(a)$ und folgende Gleichung gilt:

$\!\ \lim _{x\to p}{\frac {\|f(x)-f(p)-L(x-p)\|}{\|x-p\|}}=0$

Wir erweitern nun um einen beliebigen Richtungsvektor $\!\ h$:

$\!\ \lim _{x\to p}{\frac {\|h\|\|f(x)-f(p)-L(x-p)\|}{\|h\|\|x-p\|}}=0$

Wir ziehen nun $\!\ \|h\|$ im Nenner aus dem Limes heraus, da $\!\ \|h\|$ konstant ist.
Weiterhin folgt mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

$\!\ \lim _{x\to p}{\frac {\|h\|\|f(x)-f(p)-L(x-p)\|}{\|h\|\|x-p\|}}\geq {\frac {1}{\|h\|}}\lim _{x\to p}{\frac {|h(f(x)-f(p)-L(x-p))|}{\|x-p\|}}$

$\!\ ={\frac {1}{\|h\|}}\lim _{x\to p}{\frac {|h(f(x)-f(p))-Lh(x-p)|}{\|x-p\|}}$

Da alle Teile des Terms größer Null sein müssen wegen der Norm und Betrags, kann der Grenzwert nur 0 sein. Somit existiert $\!\ Lh$.
$\!\ \Box$

Vorsicht: Die Umkehrung gilt i.A. nicht!