Analysis: Umkehrfunktionen

Bei einer Funktion wird jeder reellen Zahl x aus einer Menge Df genau eine reelle Zahl y zugeordnet. Im Folgenden wird untersucht, unter welchen Bedingungen die Umkehrung dieser Zuordnung ebenfalls eine Funktion ist und wie man gegebenenfalls ihren Funktionsterm erhält.

UmkehrbarkeitBearbeiten

Nehmen wir  . Jeder Zahl x aus der Definitionsmenge Df wird eindeutig eine Zahl y aus der Wertemenge Wf zugeordnet, z.B.  . Geht man umgekehrt vom y-Wert 4 aus, wird man nicht zu einem eindeutig bestimmten x-Wert geführt: sowohl 2 als auch -2 kommen in Frage. Die umgekehrte Zuordnung   ist damit keine Funktion.

Betrachtet man hingegen  , findet man von jedem y-Wert ausgehend immer nur einen x-Wert. Damit ist die umgekehrte Zuordnung   auch eine Funktion.

Definition: Eine Funktion   mit der Definitionsmenge   und der Wertemenge   heißt umkehrbar,
falls es zu jedem   nur ein   mit   gibt.

Ist eine Funktion umkehrbar, so heißt die Zuordnung   Umkehrfunktion und wird mit   (lies: f quer) bezeichnet.
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.

GraphBearbeiten

Die Funktion   und ihre Umkehrfunktion   haben in einem gemeinsamen Koordinatensystem denselben Graphen. Will man für   die Darstellung   mit  , so muss man die Variablen umbenennen: x wird zu y und y zu x ("Variablentausch").

Zu jedem Punkt   des Graphen von   gehört dann ein Punkt   des Graphen von  .

Man erhält den Graphen von  , indem man den Graphen von   an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt.

Bestimmen der UmkehrfunktionBearbeiten

An der umkehrbaren Funktion   mit   wird gezeigt, wie man   ermitteln kann.

  •   bestimmen:

Es gilt   für  , aufgrund der strengen Monotonie von   ist  .

  • Auflösen der Gleichung   nach x:

Mit   gilt   oder   und damit   oder  .

Da   ist, muss   ausgeschlossen werden.

  • Variablentausch;   angeben:

Aus   erhält man nun  .

Damit ist   mit   die Umkehrfunktion von  .

AbleitungBearbeiten

Hat der Graph von   eine Tangente im Punkt  , so hat der Graph von   im Punkt   ebenfalls eine Tangente.

Dies bedeutet: Ist   an der Stellex0 differenzierbar mit  , dann ist   an der Stelle   ebenfalls differenzierbar.

Aus den beiden Steigungsdreiecken der Tangenten lässt sich unmittelbar ablesen, dass   und   Kehrwerte voneinander sind. Damit ist der folgende Satz anschaulich begründet.

Satz: Ist die Funktion   in einem Intervall I umkehrbar und differenzierbar mit   für  ,
dann ist die Umkehrfunktion   ebenfalls differenzierbar und es gilt:
  mit   bzw.  .

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

 

und ihre Ableitung

 

Die Umkehrfunktion lautet

 

  • Berechnen von  

 

  • Ersetzen von x durch  

 

  • Ersetzen von y durch x