Es gibt mehrere Methoden eine Funktion abzuleiten. Je nachdem wie eine Funktion aufgebaut ist muss man sie nach der Produkt-, der Ketten- oder der Quotientenregel ableiten.
(
a
)
′
=
0
{\displaystyle (a)'=0\,}
(
a
⋅
f
)
′
=
a
⋅
f
′
{\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'}
(
f
±
g
)
′
=
f
′
±
g
′
{\displaystyle (f\pm g)'=f'\pm g'}
(
x
n
)
′
=
n
⋅
x
n
−
1
{\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}}
Ist die abzuleitende Funktion ein Produkt, so leitet man sie nach der Produktregel ab.
f
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)=u(x)v(x)}
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
{\displaystyle \ f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}
f
(
x
)
=
2
x
e
x
{\displaystyle \ f(x)=2xe^{x}}
u
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle \ u(x)=2x}
v
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle \ v(x)=e^{x}}
Die neuen Funktionen leitet man nun ganz normal ab:
u
′
(
x
)
=
2
{\displaystyle \ u'(x)=2}
v
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle \ v'(x)=e^{x}}
Nun setzt man Funktionen und Ableitungen gemäß der Produktregel zusammen:
f
′
(
x
)
=
2
e
x
+
2
x
e
x
{\displaystyle \ f'(x)=2e^{x}+2xe^{x}}
Durch Ausklammern erhält man nun eine brauchbare Funktion:
f
′
(
x
)
=
2
e
x
(
1
+
x
)
{\displaystyle \ f'(x)=2e^{x}(1+x)}
Eine verkettete Funktion, also eine Funktion, die aus verschiedenen Funktionen zusammengesetzt wurde, leitet man nach der Kettenregel ab.
f
(
x
)
=
u
(
v
(
x
)
)
{\displaystyle \ f(x)=u(v(x))}
f
′
(
x
)
=
u
′
(
v
(
x
)
)
v
′
(
x
)
{\displaystyle \ f'(x)=u'(v(x))v'(x)}
f
(
x
)
=
(
5
−
3
x
)
4
{\displaystyle \ f(x)=(5-3x)^{4}}
u
(
v
)
=
v
4
{\displaystyle \ u(v)=v^{4}}
v
(
x
)
=
5
−
3
x
{\displaystyle \ v(x)=5-3x}
Die Ableitungen lauten:
u
′
(
v
)
=
4
v
3
{\displaystyle \ u'(v)=4v^{3}}
v
′
(
x
)
=
−
3
{\displaystyle \ v'(x)=-3}
Nun setzt man die Ableitungen zusammen:
f
′
(
x
)
=
4
(
5
−
3
x
)
3
(
−
3
)
{\displaystyle \ f'(x)=4(5-3x)^{3}(-3)}
Vereinfacht ist das:
f
′
(
x
)
=
−
12
(
5
−
3
x
)
3
{\displaystyle \ f'(x)=-12(5-3x)^{3}}
Die Quotientenregel ist dazu da, um gebrochen rationale Funktionen abzuleiten.
f
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}}
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
′
(
x
)
(
v
(
x
)
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^{2}}}}
f
(
x
)
=
2
x
1
−
x
{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{1-x}}}
u
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle \ u(x)=2x}
v
(
x
)
=
1
−
x
{\displaystyle \ v(x)=1-x}
Die Ableitungen lauten:
u
′
(
x
)
=
2
{\displaystyle \ u'(x)=2}
v
′
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle \ v'(x)=-1}
Zusammengesetzt:
f
′
(
x
)
=
2
(
1
−
x
)
−
2
x
(
−
1
)
(
1
−
x
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {2(1-x)-2x(-1)}{(1-x)^{2}}}}
Vereinfacht:
f
′
(
x
)
=
2
(
1
−
x
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {2}{(1-x)^{2}}}}
Für den Differenzenquotienten von f gilt:
f
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
u
(
x
)
⋅
v
(
x
)
−
u
(
x
0
)
⋅
v
(
x
0
)
x
−
x
0
=
u
(
x
)
⋅
v
(
x
)
−
u
(
x
0
)
⋅
v
(
x
)
+
u
(
x
0
)
⋅
v
(
x
)
−
u
(
x
0
)
⋅
v
(
x
0
)
x
−
x
0
=
[
u
(
x
)
−
u
(
x
0
)
]
⋅
v
(
x
)
+
u
(
x
0
)
⋅
[
v
(
x
)
−
v
(
x
0
)
]
x
−
x
0
=
u
(
x
)
−
u
(
x
0
)
x
−
x
0
⋅
v
(
x
)
+
u
(
x
0
)
⋅
v
(
x
)
−
v
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {u(x)\cdot v(x)-u(x_{0})\cdot v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&={\frac {u(x)\cdot v(x)\color {Red}-u(x_{0})\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot v(x)\color {Black}-u(x_{0})\cdot v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&={\frac {[u(x)-u(x_{0})]\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot [v(x)-v(x_{0})]}{x-x_{0}}}\\&={\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot {\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\end{aligned}}}
(Um den Differenzquotienten von f auf die Differenzquotienten
u
(
x
)
−
u
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}
v
(
x
)
−
v
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle {\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}}
Die Funktionen u und v sind differenzierbar. Für
x
→
x
0
{\displaystyle \ x\to x_{0}}
u
(
x
)
−
u
(
x
0
)
x
−
x
0
→
u
′
(
x
0
)
{\displaystyle {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}\to u'(x_{0})}
v
(
x
)
→
v
(
x
0
)
{\displaystyle \ v(x)\to v(x_{0})}
v
(
x
)
−
v
(
x
0
)
x
−
x
0
→
v
′
(
x
0
)
{\displaystyle {\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\to v'(x_{0})}
Man definiert
D
(
z
,
z
0
)
:=
{
u
(
z
)
−
u
(
z
0
)
z
−
z
0
,
falls
z
≠
z
0
,
u
′
(
z
0
)
,
falls
z
=
z
0
.
{\displaystyle D(z,z_{0}):={\begin{cases}{\frac {u(z)-u(z_{0})}{z-z_{0}}},&{\text{falls }}z\neq z_{0},\\u'(z_{0}),&{\text{falls }}z=z_{0}.\end{cases}}}
Weil
u
{\displaystyle u}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
lim
z
→
z
0
D
(
z
,
z
0
)
=
u
′
(
z
0
)
,
{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}D(z,z_{0})=u'(z_{0}),}
das heißt, die Funktion
z
↦
D
(
z
,
z
0
)
{\displaystyle z\mapsto D(z,z_{0})}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
∈
U
{\displaystyle z\in U}
u
(
z
)
−
u
(
z
0
)
=
D
(
z
,
z
0
)
⋅
(
z
−
z
0
)
.
{\displaystyle u(z)-u(z_{0})=D(z,z_{0})\cdot (z-z_{0}).}
Daraus folgt
(
u
∘
v
)
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
u
(
v
(
x
)
)
−
u
(
v
(
x
0
)
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
D
(
v
(
x
)
,
v
(
x
0
)
)
⋅
(
v
(
x
)
−
v
(
x
0
)
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
D
(
v
(
x
)
,
v
(
x
0
)
)
⋅
lim
x
→
x
0
v
(
x
)
−
v
(
x
0
)
x
−
x
0
=
u
′
(
v
(
x
0
)
)
⋅
v
′
(
x
0
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(u\circ v)'(x_{0})&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {u{\big (}v(x){\big )}-u{\big (}v(x_{0}){\big )}}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {D{\big (}v(x),v(x_{0}){\big )}\cdot {\big (}v(x)-v(x_{0}){\big )}}{x-x_{0}}}\\&=\lim _{x\to x_{0}}D{\big (}v(x),v(x_{0}){\big )}\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&=u'{\big (}v(x_{0}){\big )}\cdot v'(x_{0}).\end{aligned}}}
Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fasst man f als Produkt zweier Funktionen auf mit
f
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
=
u
(
x
)
⋅
1
v
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}}
k
(
x
)
=
1
v
(
x
)
=
v
−
1
(
x
)
{\displaystyle k(x)={\frac {1}{v(x)}}=v^{-1}(x)}
k
′
(
x
)
=
−
1
⋅
v
−
2
(
x
)
⋅
v
′
(
x
)
=
−
v
′
(
x
)
(
v
(
x
)
)
2
{\displaystyle k'(x)=-1\cdot v^{-2}(x)\cdot v'(x)=-{\frac {v'(x)}{(v(x))^{2}}}}
Somit ergibt sich für
f
(
x
)
=
u
(
x
)
⋅
1
v
(
x
)
{\displaystyle f(x)=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}}
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
⋅
1
v
(
x
)
+
u
(
x
)
⋅
(
−
v
′
(
x
)
(
v
(
x
)
)
2
)
=
u
′
(
x
)
⋅
v
(
x
)
−
u
(
x
)
⋅
v
′
(
x
)
(
v
(
x
)
)
2
{\displaystyle f'(x)=u'(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}+u(x)\cdot \left(-{\frac {v'(x)}{(v(x))^{2}}}\right)={\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^{2}}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {u(x)\cdot v(x)-u(x_{0})\cdot v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&={\frac {u(x)\cdot v(x)\color {Red}-u(x_{0})\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot v(x)\color {Black}-u(x_{0})\cdot v(x_{0})}{x-x_{0}}}\\&={\frac {[u(x)-u(x_{0})]\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot [v(x)-v(x_{0})]}{x-x_{0}}}\\&={\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot v(x)+u(x_{0})\cdot {\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f001ea7f43bc0e4494347a61c386245b5ce2d141)
