Analysis: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Es gibt mehrere Methoden eine Funktion abzuleiten. Je nachdem wie eine Funktion aufgebaut ist muss man sie nach der Produkt-, der Ketten- oder der Quotientenregel ableiten.

Konstante FunktionBearbeiten

 

FaktorregelBearbeiten

 

SummenregelBearbeiten

 

PotenzregelBearbeiten

 

ProduktregelBearbeiten

Ist die abzuleitende Funktion ein Produkt, so leitet man sie nach der Produktregel ab.
Die Produktregel für eine Funktion   lautet:

 


Will man nun also die Funktion   ableiten, so zerlegt man sie erstmal in zwei Teile. Wobei jeder der Faktoren ein Teil ist:

  und  .

Die neuen Funktionen leitet man nun ganz normal ab:

  und  

Nun setzt man Funktionen und Ableitungen gemäß der Produktregel zusammen:

 

Durch Ausklammern erhält man nun eine brauchbare Funktion:

 

KettenregelBearbeiten

Eine verkettete Funktion, also eine Funktion, die aus verschiedenen Funktionen zusammengesetzt wurde, leitet man nach der Kettenregel ab.
Die Kettenregel für eine Funktion   lautet:

 


Will man nun die Funktion   ableiten, muss man die Funktion wieder in ihre Ursprungsfunktionen zerlegen. Diese wären:

  und  .

Die Ableitungen lauten:

  und  

Nun setzt man die Ableitungen zusammen:

 

Vereinfacht ist das:

 

QuotientenregelBearbeiten

Die Quotientenregel ist dazu da, um gebrochen rationale Funktionen abzuleiten.
Die Quotientenregel für eine Funktion   lautet:

 .


Leitet man nun   ab, muss man erstmal u(x) und v(x) bestimmen.

  und  

Die Ableitungen lauten:

  und  

Zusammengesetzt:

 

Vereinfacht:

 

HerleitungenBearbeiten

ProduktregelBearbeiten

Für den Differenzenquotienten von f gilt:

 

(Um den Differenzquotienten von f auf die Differenzquotienten   und   zurückzuführen zu können, wird der rot geschriebene Teil eingefügt.)

Die Funktionen u und v sind differenzierbar. Für   gilt daher  ;   und  .

KettenregelBearbeiten

Man definiert

 

Weil   in   differenzierbar ist, gilt

 

das heißt, die Funktion   ist an der Stelle   stetig. Außerdem gilt für alle  :

 

Daraus folgt

 

QuotientenregelBearbeiten

Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fasst man f als Produkt zweier Funktionen auf mit  . Für die Funktion k mit   gilt nach der Kettenregel:  .

Somit ergibt sich für   mithilfe der Produktregel  .