Analysis: Nullstellenbestimmung

NullstellenBearbeiten

Unter den Nullstellen einer reellen Funktion versteht man die x-Werte von gemeinsamen Punkten der Funktion mit der X-Achse (Abszisse) Hierfür definiert man ganz allgemein, dass   gelten muss.

Anzahl der vorkommenden NullstellenBearbeiten

Die (maximale) Anzahl der Nullstellen hängt vom Grad der Funktion ab, welcher sich aus der höchsten vorkommenden Potenz bestimmt. So hat beispielsweise die Funktion   den Grad 2, weil die höchste Potenz eine Zwei ist. Aus dem Grad kann man die maximale Anzahl der Nullstellen bestimmen - diese entspricht immer dem Grad. So hat die Funktion   zwei Nullstellen. Manche Nullstellen können auf derselben Stelle "liegen". Man spricht dann von mehrfachen Nullstellen. Beispiel:   hat zwei Nullstellen die jeweils bei  . Diese wird als zweifache oder doppelte Nullstelle bezeichnet.   hat eine dreifache Nullstelle bei  .

Bestimmen der Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen (Polynomen)Bearbeiten

Die Nullstellen werden entweder durch das Lösen der Gleichung   berechnet oder durch Näherungsverfahren - in dem versucht wird Werte für x zu finden wo f(x) gegen null geht - erraten.

Ganzrationale Funktion des Grades 1Bearbeiten

Für die Funktion   gilt.

  Man kann also die Nullstelle jeder ganzrationalen Funktion 1.Grades mit diesem Schema lösen.

Beispiel

 

Ganzrationale Funktion des Grades 2Bearbeiten

Für das Lösen einer ganzrationalen Funktion 2. Grades gibt es zwei Lösungsformeln. Die "Mitternachtsformel"/"ABC-Formel" und die PQ-Formel. Die Funktion ist definiert als  

Lösen mit MitternachtsformelBearbeiten

Lösen mit PQ-FormelBearbeiten

Die PQ-Formel ist nur für Funktionen zweckmäßig, bei denen x^2 mit dem Faktor 1 in die Gleichung eingeht.


Ganzrationale Funktion des Grades 3Bearbeiten

Angenommen, man hat die Funktion   und sucht deren Nullstellen. Obwohl es sich um eine ausgesprochen einfache Funktion handelt, ist das Problem recht komplex. Hingegen reicht es in der Praxis meist aus, einen Näherungswert für die Nullstellen zu haben.

Die erste Idee, eine solche Näherung zu finden, ist das Intervallhalbierungsverfahren (Bisektion). Das Intervallhalbierungsverfahren ist also ausgesprochen ineffizient und für praktische Anwendungen praktisch nutzlos!

Regula falsiBearbeiten

Newton-VerfahrenBearbeiten